РАСШИРЕНИЕ

д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о п о л я F₀ - дифференциальное поле FЙF₀. с таким множеством дифференцирований D, что ограничение D на F₀ совпадает с множеством дифференцирований, заданных на F₀. В свою очередь F₀ будет д и ф ф ер е н ц и а л ь н ы м п о д п о л е м п о л я F.

Пересечение любого множества дифференциальных поднолей в Fявляется дифференциальным подполем поля F. Для любого множества элементов существует наименьшее дифференциальное подполе в F, содержащее все элементы из ; оно обозначается и наз. р а с ш и р е н и е м п о л я F₀, п о-р о ж д е н н ы м м н о ж е с т в о м (при этом говорят, что является множеством, или семейством, образующих расширения над F₀).P. наз. к о-н е ч н о п о р о ж д е н н ы м, если оно имеет конечное множество образующих, и наз. п р о с т о п ор о ж д е н н ы м, если множество образующих состоит из одного элемента. Если F₁ и F₂ - два дифференциальных подполя в F, то подполе

являющееся дифференциальным подполем поля F, наз. к о м п о з и т о м полей F₁ и F₂.

Пусть - свободная коммутативная полугруппа с множеством свободных образующих D (ее элементы наз. д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и о п е р а т ор а м и). Семейство элементов дифференциального поля Fназ. д и ф ф е р е н ц и а л ь н о а л г е бр а и ч е с к и з а в и с и м ы м над д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м полем F₀ М F, если семейство алгебраически зависимо над F₀, в противном случае семейство наз. д и ф ф е р е н ц и а л ь н о а л г е б р а и ч е с к и н е з а в и с и м ы м над F₀, или семейством д и ф ф е р е н ц и а л ь н ых н е и з в ес т н ы х над F₀. Говорят, что элементы д и ф ф е р е н ц и а л ь н о с е п а р а б е л ь н о з а в и с и м ы над F₀, если семейство сепарабельно зависимо над F₀; в противном случае семейство наз. д и ф ф е р е н ц и а л ь н о с е п а р а б е л ь н о н е з а в и с и м ы м над F₀.

Расширение Fназ. д и ф ф е р е н ц и а л ь н о а л-г е б р а и ч ес к и м над F₀, если таковым является каждый элемент поля F. Аналогично, Fназ. д и ф ф ер е н ц и а л ь н о с е п а р а б е л ь н ы м над F₀, если таковым является каждый элемент из F. Для дифференциальных Р. справедлива теорема о примитивном элементе: пусть множество q независимо на F₀, тогда всякое конечно порожденное дифференциально сепарабельное расширение Fполя F₀ порождается одним элементом.

Пусть J - нек-рое множество и алгебра многочленов над F₀ от семейства неизвестных с множеством индексов . Любое дифференцирование поля F₀ единственным образом продолжается до дифференцирования кольца , отображающего в . Это дифференциальное кольцо наз. к о л ь ц о м д и ф ф ер е н ц и а л ь н ы х м н о г о ч л е н о в от дифференциальных неизвестных у _j-,, и обозначается . Его д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е п о л е ч а с т н ы х (т. <е. поле частных с продолжением дифференцирований) обозначается , а элементы этого поля наз. д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и ф у нк ц и я м и над F₀ от дифференциальных неизвестных . Для обыкновенных дифференциальных полей имеет место аналог т е о р е м ы Л ю р о т а: пусть F - произвольное дифференциальное Р. дифференциального поля F₀, содержащееся в , тогда Fсодержит элемент u. такой, что

Для любого дифференциального поля Fсуществует с е п а р а б е л ь н о е п о л у у н и в е р с а л ь н о е р а с ш и р е н и е, т. е. такое Р., в к-рое вкладывается всякое конечно порожденное сепарабельное Р. поля F. Более того, существует с е п а р а б е л ь н о е у н ив е р с а л ь н о е р а с ш и р е н и е U, т. е. такое Р., к-рое является полууниверсальным над каждым конечно порожденным Р. дифференциального ноля F, содержащимся в U.

В теории дифференциальных полей нет объекта, соответствующего алгебраически замкнутому полю в теории полей. До нек-рой степени их роль играют стесненно замкнутые поля. Основным свойством такого поля Fявляется то, что любая конечная система алгебраических дифференциальных уравнений и неравенств с коэффициентами в F, имеющая решение, рациональное над нек-рым Р. поля F, имеет решение, рациональное над F. Семейство элементов из нек-poгo Р. дифференциального поля Fназ. с т е сн е н н ы м над F, если существует дифференциальый многочлен такой, что с(h)№0 и с(h)=0 для любой необщей дифференциальной специализации h' точки h над F. Расширение поля Fназ. с т е сн е н н ы м над F, если любая конечная система элементов является стесненной над F; это равносильно тому, что произвольный элемент из является стесненным над F. Дифференциальное поле, не имеющее нетривиальных стесненных Р., наз. с т е с н е н н о з а м к н у т ы м. Пример такого поля - универсальное дифференциальное поле нулевой характеристики (универсальное Р. поля рациональных чисел Q). Для любого дифференциального поля нулевой характеристики существует с т е с н е н н о е з а м ы к а н и е, т. е. стесненно замкнутое Р. поля F, к-рое вкладывается в любое другое стесненно замкнутое Р. поля F.

Определение нормального Р. из теории полей может быть перенесено в дифференциальную алгебру различными способами. В дифференциальной теории Галуа основную роль играют сильно нормальные Р. Пусть U - фиксированное универсальное дифференциальное поле характеристики 0 с полем констант К. Все дифференциальные поля, встречающиеся ниже, предполагаются лежащими в U, а все упоминаемые далее изоморфизмы предполагаются дифференциальными изоморфизмами, т. е. коммутируют с операторами из множества D. Пусть F и -- дифференциальные поля, над к-рыми Uуниверсально. Пусть С - поле констант поля . Изоморфизм s поля наз. с и л ь н ы м, если s оставляет инвариантным каждый элемент из С,и (то есть ). С и л ь н о н о р м а л ь н ы м Р. дифференциального поля F наз. конечно порожденное расширение поля F такое, что всякий изоморфизм поля над Fявляется сильным. Сильно нормальные Р. являются стесненными. Множество сильных изоморфизмов сильно нормального расширения над F имеет естественную структуру алгебраич. группы, определенной над полем К(обозначаемой через ). Это - Галуа дифференциальная группа расширения . Частным случаем сильно нормальных Р. являются р а с ш и р е н и я П и к а р а - В е с с и о, т. е. расширения, сохраняющие поле констант и получающиеся присоединением к полю F базиса решений какой-либо системы линейных однородных дифференциальных уравнений с коэффициентами из F. Для таких Р. группа Галуа является алгебраической матричной группой, т. е. алгебраич. подгруппой группы для нек-рого целого n>0.

Дифференциальные группы Галуа типичных дифференциально-алгебраических Р. имеют следующий вид.

1) Пусть , где a удовлетворяет системе уравнений d_ia=a_ia, , и пусть поля констант полей и F совпадают. Тогда является расширением Пикара - Вессио поля F и дифференциальная группа Галуа является подгруппой мультипликативной группы поля К(то есть GL_K(1)=K*). Если элемент a трансцендентен над F, то , а если a алгебраичен, то a удовлетворяет уравнению вида y^d-b=0, где и (группа корней из 1 степени d). Расширение поля F наз. Р. н р и п о м о щ и э к с п о н е н т ы.

2) Пусть , где a удовлетворяет системе уравнений d_ia=a_i, (такой элемент a наз. п р и м и т и в н ы м над F). И пусть поле констант поля совпадает с С. Если , то a трансцендентен над F. Полученное Р. является расширением Пикара - Вессио, и группа Галуа изоморфна аддитивной группе поля К. Такие Р. наз. р а с ш и р е н и я м и п р и п о м о щ и и н т е г р а л а.

3) Пусть g₂, g₃ - элементы поля Стакие, что . Элемент наз. в е й е р ш т р а с-с о в ы м над F, если a удовлетворяет системе уравнений . Расширение является сильно нормальным над F, однако, если a трансцендентен над F, оно не является расширением Пикара - Вессио. Имеется мономорфизм

где - группа точек кубич. кривой

Если a трансцендентен над F, то с является изоморфизмом.

4) Пусть F - дифференциальное поле, и (h₁, . . ., h_n) - фундаментальная система нулей уравнения , к-рая порождает расширение Пикара - Вессио поля F. Группа Галуа содержится в SL_K(n)тогда и только тогда, когда уравнение y'+a₁y=0имеет нетривиальный нуль в F. В частности, если F=C(x) - дифференциальное полерациональных функций одного комплексного переменного с дифференцированием и - дифференциальный многочлен Бесселя, то группа Галуа соответствующего Р. совпадает с SL_K(2) при Если , то группа Галуа совпадает с К*.

Для любого натурального n можно построить Р. дифференциальных полей такое, что

Существует соответствие Галуа между множеством дифференциальных подполей сильно нормального Р. и множеством алгебраич. подгрупп его группы Галуа.

Как и в обычной теории Галуа, в дифференциальном случае рассматриваются две общие задачи.

а) Прямая задача: задано сильно нормальное расширение дифференциального поля F. Определить его группу Галуа.

б) Обратная задача: заданы дифференциальное поле Fиалгебраич. группа G. Описать множество сильно нормальных Р. поля F, группа Галуа к-рых изоморфна группе G(в частности, определить, не пусто ли оно).

Существует другой способ обобщения нормальности на случаи Р. дифференциальных полей и построения дифференциальной теории Галуа, использующий методы дифференциальной геометрии [4].

Лит.:[1] R i t t J. F., Differential algebra, N. Y., 1950; [2] К о 1 с h i n E. R., Differential algebra and algebraic groups, N. Y., 1973; [3] К а п л а н с к и й И., Введение в дифференциальную алгебру, пер. с англ., М., 1959; [4] Р о m m a r e t J. F., Differential Galois theory, N. Y.-L.-P., 1983.

А. В. Михалев, Е. В. Панкратьев.