РАСШИРЕНИЕ

г р у п п ы - группа, содержащая данную группу в качестве нормального делителя. Обычно фиксируется и факторгруппа, т. е. р а с ш и-р е н и е м г р у п п ы Ап р и п о м о щ и г р у пп ы Вназ. группа G, содержащая Ав качество нормального делителя и такая, что , или точная последовательность

(1)

Иногда группу Gназ. р а с ш и р е н и е м г р у п п ы Впри помощи группы A (см., напр., [2]) или эпиморфизм . группы B(см., [1]). Наконец, точная последовательность (1) может называться как Р. группы Апри помощи группы В, так и Р. группы Впри помощи группы А. Р. группы Апри помощи группы Ввсегда существует, однако группы Аи В определяют его неоднозначно. Необходимость описания всех Р. группы Апри помощи группы Ввызвана как потребностями самой теории групп, так и ее приложениями. Такое описание естественно проводить с точностью до эквивалентности. Два Р. группы Апри помощи группы Вназ. э к в и в а л е н тн ы м и, если коммутативна диаграмма

Произвольное Р. (1) определяет путем трансформирования элементами группы Gгомоморфизм

для к-рого a(А).содержится в группе In Авнутренних автоморфизмов группы А, и, следовательно, определяет гомоморфизм

Тройку ( А, В,b) наз. а б с т р а к т н ы м я д р о м Р. Фиксируя Р. (1), выбирают для каждого представителя так, чтобы удовлетворялись условия gи(b)=b и u(1)=1. Тогда сопряжение элементом и(b)порождает автоморфизм j (b)группы А:

Произведение и(b₁) и(b₂) равно и (b₁b₂) с точностью до множителя :

Легко проверяется, что введенные функции должны удовлетворять условиям

(2)

(3) где в равенстве (3) неявно присутствует функция

Задание групп Аи Ви функций , , удовлетворяющих условиям (2) и (3) и условиям нормализованности:

определяет Р. (1) в следующем смысле. Множество

является группой относительно операции

Гомоморфизмы задают Р.

Если задано абстрактное ядро , то всегда можно найти нормализованную функцию j, удовлетворяющую условию (3). Естественно возникает функция f, однако условие (2) не всегда выполняется; в общем случае

где . Функция наз. с и с т е м о й ф а к т о р о в, а функции наз. п р е п я т с т в и я м и к Р. Если группа Аабелева, то системы факторов составляют группу Z₂(B, А )относительно их естественного сложения. Факторы, соответствующие полупрямым произведениям, составляют подгруппу В ₂( В, А )группы Z₂(B, А). Факторгруппа изоморфна второй группе когомологий группы В с коэффициентами в группе А. Аналогичную интерпретацию имеют препятствия в третьей группе когомологий.

Идея изучения Р. с помощью систем факторов появилась давно (О. Гёльдер, О. Holder. 1893). Однако упоминание систем факторов обычно связано с именем О. Шрайера (О. Schreier), предпринявшего с их помощью первое систематич. изучение расширений. Р. Бэр (R. Ваеr) впервые начал инвариантные исследования Р. групп без участия систем факторов. Теория Р. групп явилась одним из истоков гомологич. алгебры.

Лит.:[1] К а р т а н А., Э й л е н б е р г С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] К и р и л л о в А. А., Элементы теории представлений, М., 1978; [3] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [4] М а к л е й н С., Гомология, пер. с англ., М., 1966. В. Е. Говоров.