РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ

к а к о й - л и б о с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы X - функция действительного переменного х, принимающая при каждом хзначение, равное вероятности неравенства Х<x.

Каждая Р. ф. F(х)обладает следующими свойствами:

1) при ;

2) F(х)непрерывна слева при каждом х;

3)

(иногда Р. ф. определяют как вероятность неравенства , и тогда она оказывается непрерывной справа). В математич. анализе Р. ф. называют любую функцию, для к-рой имеют место свойства 1) - 3). Существует взаимно однозначное соответствие между распределениями вероятностей Р F на s-алгебре борелевских подмножеств числовой прямой и Р. ф. Это соответствие определяется формулой: для любого интервала [a, b)


Каждая функция F, обладающая свойствами 1)-3), может рассматриваться как Р. ф. нек-рой случайной величины X(напр., случайной величины X(x) = x, заданной на вероятностном пространстве

Всякая Р. ф. может быть однозначно представлена в виде суммы


где a1, а 2, а3 - неотрицательные числа, сумма к-рых равна 1, а F1, F2, F3 - Р. ф. такие, что F1(x)абсолютно непрерывна:


F2(x) -"ступенчатая функция":

"

где -точки скачков F(x), а пропорциональны размеру этих скачков; F3(x) -"сингулярная" компонента - непрерывная функция, производная к-рой почти всюду равна нулю. <иП р и м е р. Пусть ,- бесконечная последовательность независимых случайных величин, принимающих значения 1 и 0 с вероятностями и , соответственно. Пусть


тогда

1) если при всех k, то Xимеет абсолютно непрерывную Р. ф. (с p(x)=1для , т. е. X равномерно распределена на [0, 1]);

2) если , то Xимеет "ступенчатую"

Р. ф. (она имеет скачки во всех двоично-рациональных точках отрезка [0, 1]);

3) если при , то X имеет "сингулярную" Р. ф.

Этот пример является иллюстрацией одной теоремы П. Леви (P. Levy), в соответствии ск-рой предел бесконечной свертки дискретных Р. ф. может содержать только одну из указанных выше компонент. "Расстояние" между распределениями P> и Q на числовой прямой часто определяют в терминах соответствующих Р. ф. Fи S, полагая, напр.,


или


(см. Распределений сходимость. Леви метрика, Характеристическая функция).

Р. ф. наиболее употребительных распределений вероятностей (напр.. нормального, биномиального, пуассоновского распределений) табулированы.

Для проверки гипотез о Р. ф. Fпо результатам независимых наблюдений используют так или иначе измеренное отклонение Fот эмпирической Р. ф. (см. Колмогорова критерий, Колмогорова - Смирнова критерий, Крамера- Мизеса критерий).

Понятие Р. ф. естественным образом распространяется на многомерный случай, но многомерные Р. ф. значительно менее употребительны, чем одномерные.

О приближенном представлении Р. ф. см. Грама - Шарлье ряд, Эджворта ряд, Предельные теоремы.

Лит.:[1] К р а м е р Г., Случайные величины и распределения вероятностей, пер. с англ., М., 1947; [2] е г о ж е, Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1 - 2, М., 1967; [4] Б о л ь ш е в Л. Н., С м и р н о в Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. Ю. В. Прохоров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • функция — 2.1 функция (function): Реализация в программе алгоритма, по которому пользователь или программа могут частично или полностью выполнять решаемую задачу. Примечания 1 Пользователю нет необходимости вызывать функцию (например, автоматическое… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • функция распределения — 3.7 функция распределения (distribution function) F(x):Функция, задающая для любого значения х вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна х: П(х) = Рr(Х £ х). Источник: ГОСТ Р ИСО 12491 2011: Материалы и изделия… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Функция распределения (статистическая физика) —     Статистическая физика …   Википедия

  • Функция распределения (статистическая механика) — Статистическая физика Термодинамика Молекулярно кинетическая теория Статистики Максвелла Больцмана Бозе Эйнштейна · Ферми Д …   Википедия

  • Функция Вигнера — (функция квазивероятностного распределения Вигнера, распределение Вигнера, распределение Вейля) была введена Вигнером в 1932 году для изучения квантовых поправок к классической статистической механике. Целью было заменить волновую функцию,… …   Википедия

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УСЕЧЕННАЯ — условная функция распределения случайной величины X при условии, что а < X ≤ b, задаваемая в виде где F(x) обычная функция распределения X. Если существует плотность распределения вероятностей f(x) = F1(x), то усеченное распределение… …   Геологическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — ф ция для описания распределения вероятностей значений случайной величины. Для всех возможных значений х ( <х< )случайной величины x Ф. р. где Р{x<=х} вероятность события x<= х. Ф. p. Fx(x) монотонно не убывает, она непрерывна справа …   Физическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем х, где х произвольное действительное число: F(x) = Р{Х ≤ х} = F(x) неубывающая функция; О ≤ F(x) ≤ 1. Ф. р. в. полностью задает случайную величину. Если X… …   Геологическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКАЯ — функция распределения вероятностей выборочных значений случайной величины. Определяется равенством где x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ хn вариационный ряд. Это ступенчатая неубывающая функция, статистический аналог функции распределения F(x)… …   Геологическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНАЯ — функция распределения случайного вектора (X1, X2, ...,Xn): F(x1, x2,...,xn) = Р(Х1 ≤ x1,X2 ≤ x2,...,Xn ≤ xn). Все свойства одномерной функции распределения вероятностей сохраняются. Если Х1,Х2,...,Хn независимые случайные… …   Геологическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»