РАНГОВ ВЕКТОР

- векторная статистика R= =(R₁, . . ., R_n), построенная по случайному вектору наблюдений X= (Х ₁ . .., Х _п), i-я компонента к-рой R_i=R_i(X), i=l, 2, . . ., п, определяется по правилу

где - характеристическая функция множества , т. е.

Статистика R_i наз. р а н г о м i-й компоненты Х _i:, i=l, 2, . . ., п, случайного вектора X. Определение Р. в. будет корректным при выполнении следующего условия:

к-рое заведомо выполняется, если распределение вероятностей случайного вектора Xзадается плотностью р(х)=р( х ₁, . . ., х _n). В этих условиях из определения Р. в. следует, что статистика Rпринимает значения в пространстве всех перестановок r= (r_l, r₂, . . ., r_n) чисел 1, 2, . . ., п, при этом реализация r_i (r_i=1, 2, . . ., п).ранга R_i численно равна количеству компонент вектора X, наблюденные значения к-рых не превосходят реализации i-й компоненты X_i, i=l, 2, . . ., п.

Пусть - вектор порядковых статистик, построенный по вектору наблюдений X. Тогда пара является достаточной статистикой для распределения вектора X, причем сам вектор Xоднозначно восстанавливается по достаточной статистике . Кроме того, при дополнительном предположении о симметричности плотности вероятности р(х).случайного вектора Xотносительно перестановок аргументов компоненты достаточной статистики независимы и

В частности, если

(1)

т. е. компоненты X₁, Х ₂, . . ., Х _п случайного вектора Xсуть независимые одинаково распределяемые слу-

чайные величины (f(x_i) - плотность вероятности случайной величины Х _i), то

(2)

для любого k=1,2, . . ., п.

При выполнении условия (1) существует совместная плотность вероятности q(x_i, k), k=1,2, . . ., п, случайных величин X_i и R_i, к-рая выражается формулой

(3)

где F(x_i) - функция распределения случайной величины X_i. Из (2) и (3) следует, что условная плотность вероятности случайной величины Х _i при условии, что R_i=k(k=1,2, . . ., n), выражается

формулой

(4)

Последняя формула позволяет проследить внутреннюю связь, существующую между вектором наблюдений X, Р. в. R и вектором порядковых статистик , так как (4) есть не что иное, как плотность вероятности k- йпорядковой статистики , k=1,2, ... , п. Кроме того, из (3) следует, что условное распределение ранга R_i выражается формулой

И, наконец, при допущении о существовании моментов Е{X_i} и D{X_i}и выполнении (1) из (2) и (3) следует, что коэффициент корреляции между X_i, и R_i, равен

В частности, если X_i подчиняется равномерному распределению на отрезке [0,1], то

Вслучае, если X_i подчиняется нормальному распределению N( а,s²), то причем не зависит от параметров нормального закона.

Лит.:[1] H o e f f d i n g W., в кн.: Ргос. 2 Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, Berkeley - Los Ang., 1951, p. 83-92; [2] Г а е к Я., Ш и д а к З., Теория ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971; [3] Т а р а с е н к о Ф. II., Непараметрическая статистика, Томск, 1976. М. С. Никулин.