ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА ВОЗВРАЩЕНИЯ

- одна из основных теорем общей теории динамич. систем с инвариантной мерой. Пусть движение системы описывается дифференциальными уравнениями

(1)

где однозначные функции X_i( х ₁, . . ., х _п).удовлетворяют условию

так что уравнения (1) допускают положительный интегральный инвариант

(2)

Предполагается также, что если изображающая точка Рс координатами х ₁ ,. . ., х _п в начальный момент времени t₀ находится внутри нек-рой области Vконечного объема, то она будет оставаться неопределенно долго внутри этой области, и что

П. т. в.: если рассматривается область U₀, содержащаяся в V, то можно выбрать бесконечным числом способов начальное положение точки Ртаким образом, чтобы эта точка пересекла область U₀ бесконечно много раз. Если этот выбор начального положения делается наудачу внутри U₀, то вероятность того, что точка Рне пересечет область U₀ бесконечное число раз, будет бесконечно мала.

Другими словами, если начальные условия не являются исключительными, в указанном смысле, то точка Рпройдет бесконечно много раз сколь угодно близко от своего начального положения.

Движение, при к-ром система бесконечное число раз возвращается в окрестность начального состояния, А. Пуанкаре (Н. Poincare) назвал устойчивым в смысле Пуассона. П. т. в. была впервые установлена А. Пуанкаре (см. [1], [2]), а его доказательство было улучшено К. Каратеодори [3].

Введя в метрич. пространстве Rс помощью четырех аксиом абстрактное понятие меры mAлюбого множества и рассматривая динамич. систему f( р, t) ( р=Р для t=0), заданную в R, К. Каратеодори назвал меру m инвариантной относительно системы f(p, t), если для любого m-измеримого множества Аимеет место равенство

Инвариантная мера представляет собой естественное обобщение интегрального инварианта (2) для дифференциальных уравнений (1). Предположив меру всего пространства Rконечной, К. Каратеодори доказал, что:

1) если цА=т>(), то найдутся значения , такие, что m[A^.f(A, t)]>0, где A^.f(A, t) - множество точек, принадлежащих одновременно множествам Аи f (A, t).

2) если в пространстве Rсо счетной базой mR=1 для инвариантной меры m, то почти все точки (в смысле меры и) устойчивы по Пуассону.

А. Я. Хинчин [5] уточнил часть 1) этой теоремы, доказав, что для всякого измеримого множества Е,m Е=m>0, и любого , неравенство

выполняется для относительно плотного множества значений tна оси (при любом l<1).

Н. Г. Четаев (см. [6], [7]) обобщил П. т. в. на случай, когда функции X_i в (1) зависят также от времени tпериодически. Именно, пусть а) действительным состояниям системы отвечают лишь действительные значения переменных; б) функции Х _i в дифференциальных уравнениях движения (1) суть периодические относительно tс одним общим им всем периодом t; в) в своем движении точка Рне выйдет из нек-рой замкнутой области R, если ее начальное положение Р ₀ находится где-либо внутри определенной области r₀; г) mes W_k ames W₀, где mes обозначает меру множества W_k (объем в смысле Лебега), к-рое заполняют в момент t=t₀+kt. движущиеся точки, вышедшие в t₀ из W₀; k - нек-рое целое число, постоянная апредполагается не бесконечно малой. Тогда почти всюду (кроме, быть может, множества точек меры нуль) в области r₀ траектории имеют устойчивость в смысле Пуассона.

Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов [8] для весьма широкого класса динамич. систем дали построение меры, инвариантной относительно данной динамич. системы (см. также [4]).

Лит.:[1] Poincare H., "Acta math.", 1890, v. 13, p. 1-270; [2] eго же, Избр. тр., пер. с франц., М., 1972; [3] Саratheоdоrу С., "Sitz. Pies.Acad. Wiss. Berlin", 1919, S. 580; [4] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949; [5] Xинчин А. Я., "Сотр. math.", 1934, v. I p. 177-79; [6] Четаев Н. Г., "С. г. Acad. sci.", 1928, t. 187, p. 637-38; [7] его же, "Уч. зап. Казанск. ун-та", 1929, т. 89 кн. 2, с. 199-201; [8] Крылов Н. Н., Боголюбов Н. Н. "Ann. Math.", 1937, v. 38, М 1, p. 65-113. В. В. Румянцев