БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

нормальное T₁- пространство X(см. Нормальное пространство).такое, что ни для какого не выполняется неравенство и для любого найдется такое конечное открытое покрытие пространства , что любое вписанное в конечное открытое покрытие этого пространства будет иметь кратность , Примерами Б. <п. могут служить гильбертов кирпич и тихоновский куб.Большинство встречающихся в функциональном анализе пространств также бесконечномерно.

Нормальное -пространство наз. бесконечномерным в смысле большой (соответственно, малой) индуктивной размерности, если неравенство (соответственно ) не выполняется ни для какого Если есть Б. <п., то оно бесконечномерно в смысле большой индуктивной размерности. Если, кроме того, Xесть бикомпакт, то он бесконечномерен также и в смысле малой индуктивной размерности. Бесконечномерность метрич. пространства равносильна его бесконечномерности в смысле большой индуктивной размерности. Существуют конечномерные бикомпакты, бесконечномерные в смысле малой (следовательно и большой) индуктивной размерности. Существует ли конечномерный в смысле малой индуктивной размерности и бесконечномерный в смысле большой индуктивной размерности бикомпакт (так же как и метрич. пространство),- неизвестно (1977).

Одним из наиболее естественных подходов к пзуче-нию Б. <п. является введение малой трансфинитной размерности и большой трансфинитной размерности . Этот подход заключается в распространении определений малой и большой индуктивных размерностей на бесконечные порядковые числа. Не для всякого Б. п. Xопределены трансфинитные размерности и . Напр., обе эти размерности не определены для гильбертова кирпича. Для пространства , распадающегося в дискретную сумму -мерных кубов , малая трансфинитная размерность не определена.

Если для нормального пространства определена трансфинитная размерность (соответственно Ind X), то она равна порядковому числу, мощность к-рого не превосходит веса (соответственно большого веса ) пространства X. В частности, если пространство Xобладает счетной базой, то , а если Х - компакт, то и . Для метрич. пространств также . Если , то существуют компакты и , для к-рых

Если трансфинитная размерность определена, то определена трансфинитная размерность и . Построены компакты, для к-рых трансфинитная размерность определена и

Из определенности трансфинитной размерности (соответственно ) пространства вытекает определенность трансфинитной размерности ind X(соответственно ) для любого (соответственно любого замкнутого) множества и выполняется неравенство (соответственно ).

Для максимального бикомпактного расширения нормального пространства выполняется равенство . Нормальное пространство веса и трансфинитной размерности обладает бикомпактным расширением веса и размерности . Существует пространство Lсо счетной базой и размерности , у к-рого никакое бикомпактное со счетной базой расширение не имеет размерности . Метризуемое пространство Rтрансфинитной размерности обладает метрикой, пополнение по которой имеет размерность . Метризуемое со счетной базой пространство Rтрансфинитной размерности обладает метрикой, пополнение по которой имеет размерность

Класс пространств, для к-рых определена большая или малая трансфинитная размерность, тесно связан с классом счетномерных пространств:если полное мет-рич. пространство счетномерно, то для него определена малая трансфинитная размерность; если для пространства со счетной базой определена малая трансфинитная размерность, то оно счетномерно; если для метрич. пространства определена большая трансфинитная размерность (в частности, если оно конечномерно), то оно счетномерно; для счетномерного компакта определена большая трансфинитная размерность. Пространство счетномерно и бесконечномерно. Гильбертов кирпич не счетномерен.

Счетномерность метрич. пространства Rэквивалентна любому из следующих свойств: а) существует конечнократное (но, вообще говоря, не к-кратное ни для какого ) непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства на пространство ; б) существует счетнократное непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства на пространство R.

Теоремы о представимости n-мерного метрич. пространства в виде суммы нульмерных слагаемых и в виде образа нульмерного метрич. пространства при непрерывном замкнутом и -кратном отображении указывают на естественность рассмотрения класса счет-номерных (метрических) пространств и на его близость к классу конечномерных пространств. Как и в конечномерном случае, в классе счетномерных метрич. пространств веса существует универсальное в смысле гомеоморфного вложения пространство.

Если нормальное пространство представлено в виде конечной или счетной суммы своих счетномерных подпространств, то оно счетномерно. Подпространство счет-номерного совершенно нормального пространства счетномерно.

Взаимоотношения между счетномерными и не счетно-мерными пространствами описывает следующее утверждение: если отображение метрич. пространств Rи Sнепрерывно и замкнуто, пространство Rсчетно-мерно, а пространство Sне счетномерно, то множество также не счетномерно. Помимо счетномерных пространств, естественным расширением класса конечномерных пространств является класс слабо счетномерных пространств. Если рассматривать только метризуемые пространства, то .слабо счетномерные пространства занимают промежуточное положение между конечномерными и счетвомерными пространствами. При этом существуют счетномерные не слабо счетномерные компакты, а пространство И I ⁿ слабо счетномерно и бесконечномерно. Замкнутое подпространство слабо счетномерного пространства слабо счетномерно. Нормальное пространство слабо счетно-мерно, если оно представимо в виде конечной или счетной суммы своих слабо счетномерных замкнутых подмножеств.

В классах нормальных слабо счетномерных и метрических слабо счетномерных пространств существуют универсальные в смысле гомеоморфного вложения пространства. В случае пространств со счетной базой таким пространством будет подпространство гильбертова кирпича, состоящее из всех тех точек, лишь конечное число координат к-рых отлично от нуля. Пространство не имеет слабо счетномерных бикомпактных расширений.

Все рассмотренные выше классы Б. <п. "не очень бесконечномерны", если их сравнивать, напр., с гильбертовым кирпичом. Задача отделения "не очень бесконечномерных" пространств от "очень бесконечномерных" была решена П. С. Александровым и Ю. М. Смирновым посредством введения классов А- и S-слабо бесконечномерных и А- и S-сильно бесконечномерных нормальных пространств. Любое конечномерное пространство S- слабо бесконечномерно, а любое S-слабо Б. п. также А-сяабо бесконечномерно. Пространство является А-слабо бесконечномерным, но S-сильно бесконечномерным.

В случае бикомпактов определения А - и S- слабой (сильной) бесконечномерности эквивалентны, поэтому А-слабо (сильно) бесконечномерные бикомпакты наз. просто слабо (сильно) бесконечномерными. Гильбертов кирпич сильно бесконечномерен. Существуют бесконечномерные и слабо бесконечномерные компакты.

Замкнутое, подпространство слабо Б. п. является ' слабо бесконечномерным. Нормальное .пространство, являющееся суммой конечного числа своих замкнутых S-слабо бесконечномерных множеств, само S-слабо бесконечномерно. Паракомпакт, являющийся суммой конечной или счетной системы своих замкнутых А-слабо бесконечномерных множеств, сам А-слабо бесконечномерен. Наследственно нормальное пространство, являющееся суммой конечной или счетной системы своих А-слабо бесконечномерных множеств, само A-слабо бесконечномерно.

Слабо счетномерный паракомпакт является А-слабо бесконечномерным. Наследственно нормальное счет-номерное пространство является А-слабо бесконечномерным. Любой ли слабо бесконечномерный компакт счетномерен - неизвестно (1977).

Изучение любых S-слабо бесконечномерных метри-зуемых пространств следующим образом сводится к компактному случаю: тогда и только тогда метризуемое пространство Rявляется S -слабо бесконечномерным, когда его можно так представить в виде суммы слабо бесконечномерного компакта и конечномерных открытых множеств что для любой дискретной последовательности точек

существует (зависящее от последовательности) множество , содержащее все точки , начиная с нек-рой.

Другую возможность изучать бесконечномерные бикомпакты вместо любых S-слабо Б. <п. дают следующие утверждения: максимальное бикомпактное расширение S-слабо Б. <п.- слабо бесконечномерно; любое нормальное S-слабо бесконечномерное пространство веса обладает слабо бесконечномерным бикомпактным расширением веса . Все бикомпактные расширения А-слабо Б. <п. сильно бесконечномерны.

Бикомпакт сильно бесконечномерен тогда и только тогда, когда имеется такое непрерывное отображение что для любого множества

(гомеоморфного n-мерному кубу) ограничение отображения на прообраз является существенным отображением.

Существует бесконечномерный компакт, любое непустое замкнутое подпространство к-рого или нульмерно, или бесконечномерно. Более того, любой сильно бесконечномерный компакт содержит подкомпакт, любое непустое замкнутое подпространство к-рого или нульмерно, или сильно бесконечномерно. В любом сильно бесконечномерном бикомпакте содержится бесконечномерное канторово многообразие (в смысле П. С. Александрова).

Все сенарабельные банаховы пространства гомео-морфны между собой, А-сильно бесконечномерны и го-меоморфны произведению счетной системы прямых.

Лит.:[1] Алeксандров П. С..Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности..., М., 1073. В. А. Пасынков.