ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ

ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ

взаимно однозначное соответствие между элементами проективного пространства П n (К). (проективными подпространствами Sq).и классами эквивалентных упорядоченных конечных подмножеств элементов тела К. П. к. подпространств Sq при q>0 (наз.. также грассмановыми координатами) определяются через координаты точек (0-мерных подпространств), лежащих в Sq, и потому достаточно определить П. к. точек проективного пространства.

Пусть в совокупности строк ( х 0, х 1, . . ., х п) не равных одновременно нулю элементов тела К(к-рые наз. также однородными Координатами точек) введено отношение эквивалентности слева (справа): х~у, если существует такое, что х i=l у i ( х iil), i=0, . . ., n. Тогда совокупность классов эквивалентности находится во взаимно однозначном соответствии с совокупностью точек проективного пространства . Если интерпретируется как множество прямых левого (правого) векторного пространства , то однородные координаты точки Мимеют смысл координат векторов, принадлежащих прямой l, представляющей эту точку, а П. к.- совокупности всех таких координат.

В общем случае П. к. точек проективного пространства ПД относительно нек-рого базиса вводятся чисто проективными средствами (при обязательном выполнении в П n Дезарга предложения).следующим образом.

Множество sn(n+1) независимых точек А 0, . . ., А п пространства П n наз. симплексом, при этом точки А 0, . . ., А i-1, Ai+t, . . ., А п также независимы и определяют-век-рое подпространство Sn-1=Si, наз. гранью этого симплекса. Существует нрк-рая точка Е, не лежащая ни на одной из граней Si. Пусть i0, i1, . . ., in- любая перестановка чисел О, 1, . . ., п. Точки , и Еоказываются независимыми и определяют нек-рое Sn-k. Далее, точки определяют тоже нек-рое Sk, а так как суммой Sk и Sn-k является все пространство П n, то Sk и Sn-k имеют в точности одну общую точку Е i0...ik не лежащую ни в одном из (k-1)-мерных подпространств, определяемых точками при этом также независимы. Таким образом получается 2n+1-1 точек , включая точки Ei=Ai и Е 0...п=Е, к-рые и образуют репер пространства Snn; симплекс sn является его остовом.

На каждой прямой AiAj имеются три точки Ai, Aj, Eij, пусть они играют роль точек О, U, К в определении тела Крассматриваемой проективной геометрии (см. Проективная алгебра). Тела К( А i, Е ij, Aj).и К( А k, Е kl, А l) изоморфны друг другу, причем изоморфизм устанавливается проективным соответствием между точками двух прямых AiAj и AkAl таким, что точки А k, Ekl, Al отвечают точкам А i, Eij, Aj. Элемент тела К, соответствующий точке Рпрямой AiAj, наз. проективной координатой р точки Рв шкале (( А i, Е ij, Aj). В частности, П. к. Е ij всегда равна 1, а П. к. Рв шкале (( А j, Е ij, Ai).есть p* = р -1.

Пусть Р - точка пространства, не лежащая ни на одной из граней симплекса sn: А 0, . .., А n, обращающего вместе с нек-рой точкой Ерепер R. Если использовать точку P вместо Ев вышеприведенной конструкции репера, то получится последовательность точек Р i, Р ij, Pijk, ..., где лежит в подпространстве, определяемом (но не лежит ни в одной из гра ней симплекса sk, образованного этими точками). Пусть Р ij - координата точки Р ij (лежащей на А i А j).в шкале ( А i, Е ij, Aj). Тогда если i, j, k попарно различны, то


Пусть x0 - произвольный элемент К, отличный от нуля, а (при этом оказывается, что ). Тогда совокупность эквивалентных между собой строк, определяемых различными элементами х 0, и дает П. к. точки Ротносительно репера R.

Пусть Рлежит в подпространстве Sk, определяемом точками , но не лежит ни в одной из граней симплекса, определяемого этими точками. Пусть совокупность эквивалентных строк является П. к. точки Ротносительно репера Rподпространства Sk, определяемого симплексом sk и точкой Ei0...ik. Тогда П. к. точки Ротносительно репера Rзадаются следующим образом: yi=xi, i=i0, . . ., ik; yi=0, i i0,. . ., ik.

Любая совокупность эквивалентных между собой слева (справа) (n+1) строк, построенная вышеизложенным способом, соответствует одной и только одной точке Рпространства ПД и определяет поэтому в нем П. к. Лит.:[1] Xодж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. о англ., т. 1, М., 1954. М. И. Войцеховский.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ" в других словарях:

  • Проективные координаты — Проективные координаты  взаимно однозначное соответствие между элементами мерного проективного пространства над телом и классами эквивалентности упорядоченных конечных подмножеств элементов тела . Пусть в совокупности строк не равных… …   Википедия

  • Координаты — Координаты  величины, определяющие положение точки (тела) в пространстве (на плоскости, на прямой). Совокупность координат всех точек пространства является системой координат. В Викисловаре есть статья «координата» Понятие и слово… …   Википедия

  • КООРДИНАТЫ — числа, величины, по к рым находится (определяется) положение какого либо элемента (точки) в некоторой совокупности (множестве М), например на плоскости поверхности, в пространстве, на многообразии. В ряде разделов математики и физики К. именуются …   Математическая энциклопедия

  • ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ — координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же число. Таковы, напр., проективные координаты, плюккеровы координаты, пентасферические координаты. Д. Д. Соколов …   Математическая энциклопедия

  • БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — координаты точки n мерного векторного пространства , отнесенные к нек рой фиксированной системе точек, не лежащих в мерном подпространстве. Каждая точка может быть единственным образом представлена в виде где действительные числа, удовлетворяющие …   Математическая энциклопедия

  • Цилиндрические параболические координаты — Координатные поверхности в координатах параболического цилиндра. Цилиндрические параболические координаты (координаты параболи …   Википедия

  • Барицентрические координаты — У этого термина существуют и другие значения, см. Координаты. Барицентрические координаты  координаты точки мерного аффинного пространства , отнесенные к некоторой фиксированной системе из ой точки , не лежащих в мерном подпространстве.… …   Википедия

  • Параболические координаты — Параболические координаты  ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.… …   Википедия

  • Бицентрические координаты — Бицентрические координаты  система координат на плоскости, в которой положение точки задаётся расстояниями от двух фиксированных центров (полюсов). Бицентрические координаты не следует путать с биполярными и с биангулярными координатами.… …   Википедия

  • Биангулярные координаты — Биангулярные координаты  система координат на плоскости с двумя фиксированными точками …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»