ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ

взаимно однозначное соответствие между элементами проективного пространства П _n (К). (проективными подпространствами S_q).и классами эквивалентных упорядоченных конечных подмножеств элементов тела К. П. к. подпространств S_q при q>0 (наз.. также грассмановыми координатами) определяются через координаты точек (0-мерных подпространств), лежащих в S_q, и потому достаточно определить П. к. точек проективного пространства.

Пусть в совокупности строк ( х ⁰, х ¹, . . ., х ^п)=х не равных одновременно нулю элементов тела К(к-рые наз. также однородными Координатами точек) введено отношение эквивалентности слева (справа): х~у, если существует такое, что х ⁱ=l у ⁱ ( х ⁱ=у ⁱl), i=0, . . ., n. Тогда совокупность классов эквивалентности находится во взаимно однозначном соответствии с совокупностью точек проективного пространства . Если интерпретируется как множество прямых левого (правого) векторного пространства , то однородные координаты точки Мимеют смысл координат векторов, принадлежащих прямой l, представляющей эту точку, а П. к.- совокупности всех таких координат.

В общем случае П. к. точек проективного пространства ПД относительно нек-рого базиса вводятся чисто проективными средствами (при обязательном выполнении в П _n Дезарга предложения).следующим образом.

Множество s_n(n+1) независимых точек А ₀, . . ., А _п пространства П _n наз. симплексом, при этом точки А ₀, . . ., А _i-1, A_i+t, . . ., А _п также независимы и определяют-век-рое подпространство S_n-1=Sⁱ, наз. гранью этого симплекса. Существует нрк-рая точка Е, не лежащая ни на одной из граней Sⁱ. Пусть i₀, i₁, . . ., i_n- любая перестановка чисел О, 1, . . ., п. Точки , и Еоказываются независимыми и определяют нек-рое S_n-k. Далее, точки определяют тоже нек-рое S_k, а так как суммой S_k и S_n-k является все пространство П _n, то S_k и S_n-k имеют в точности одну общую точку Е _i0..._ik не лежащую ни в одном из (k-1)-мерных подпространств, определяемых точками при этом также независимы. Таким образом получается 2ⁿ⁺¹-1 точек , включая точки E_i=A_i и Е _0...п=Е, к-рые и образуют репер пространства S_n=П _n; симплекс s_n является его остовом.

На каждой прямой A_iA_j имеются три точки A_i, A_j, E_ij, пусть они играют роль точек О, U, К в определении тела Крассматриваемой проективной геометрии (см. Проективная алгебра). Тела К( А _i, Е _ij, A_j).и К( А _k, Е _kl, А _l) изоморфны друг другу, причем изоморфизм устанавливается проективным соответствием между точками двух прямых A_iA_j и A_kA_l таким, что точки А _k, E_kl, A_l отвечают точкам А _i, E_ij, A_j. Элемент тела К, соответствующий точке Рпрямой A_iA_j, наз. проективной координатой р точки Рв шкале (( А _i, Е _ij, A_j). В частности, П. к. Е _ij всегда равна 1, а П. к. Рв шкале (( А _j, Е _ij, A_i).есть p* = р ^-1.

Пусть Р - точка пространства, не лежащая ни на одной из граней симплекса s_n: А ₀, . .., А _n, обращающего вместе с нек-рой точкой Ерепер R. Если использовать точку P вместо Ев вышеприведенной конструкции репера, то получится последовательность точек Р _i, Р _ij, P_ijk, ..., где лежит в подпространстве, определяемом (но не лежит ни в одной из гра ней симплекса s_k, образованного этими точками). Пусть Р _ij - координата точки Р _ij (лежащей на А _i А _j).в шкале ( А _i, Е _ij, A_j). Тогда если i, j, k попарно различны, то

Пусть x₀ - произвольный элемент К, отличный от нуля, а (при этом оказывается, что ). Тогда совокупность эквивалентных между собой строк, определяемых различными элементами х ₀, и дает П. к. точки Ротносительно репера R.

Пусть Рлежит в подпространстве S_k, определяемом точками , но не лежит ни в одной из граней симплекса, определяемого этими точками. Пусть совокупность эквивалентных строк является П. к. точки Ротносительно репера Rподпространства S_k, определяемого симплексом s_k и точкой E_i0...ik. Тогда П. к. точки Ротносительно репера Rзадаются следующим образом: y_i=x_i, i=i₀, . . ., i_k; y_i=0, i i₀,. . ., i_k.

Любая совокупность эквивалентных между собой слева (справа) (n+1) строк, построенная вышеизложенным способом, соответствует одной и только одной точке Рпространства ПД и определяет поэтому в нем П. к. Лит.:[1] Xодж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. о англ., т. 1, М., 1954. М. И. Войцеховский.