ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

совокупность всех подпространств инцидентностной структуры p-= , где элементы множества наз. точками, а элементы множества - прямыми, I - отношение инцидентности. Подпространством инцидентностной структуры p наз. подмножество S множества , для к-рого справедливо условие: если , то Множество точек прямой, проходящей через точки ри q, также принадлежат S. Инцидентностная структура p удовлетворяет следующим требованиям:

1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL, qIL;

2) каждая прямая инцидентна по крайней мере с тремя точками;

3) если две различные прямые L, M пересекаются в точке ри выполнено qIL и rIL,a sIM, tIM, то прямые, проходящие через пары точек r, t и s, q, пересекаются.

Подпространство Sпорождено множеством sточек из (пишут S=<s>), если Sявляется пересечением всех подпространств, содержащих s. Множество точек s наз. независимым, если для любого имеет место . Упорядоченное максимальное и независимое множество точек подпространства Sназ. базисом S, а число его элементов d(S) - размерностью подпространства S. Подпространство размерности 0 является точкой, размерности 1 - проективной прямой. Подпространство размерности 2 наз. проективной плоскостью.

В П. н. определены операции сложения и пересечения подпространств. Суммой Р _m+Р _k подпространств Р _m и P_k наз. наименьшее из подпространств, содержащее и Р _m, и P_k. Пересечением подпространств

Р _m и Р _k наз. наибольшее из подпространств, содержащееся и в Р _m, и в P_k. Размерности подпространств Р _m, Р _k, их суммы и пересечения связаны соотношением

Для любого Р _m существует P_n-m-1 такое, что Р _тP_n-m-1=P_-1= И P_m +P_n-m-1= P_n (P_n-m-1- дополнение Р _т в P_n), и если Р _т Р _r, то

для любого P_k (дедекиндово правило), т. е. относительно введенных операций П. п. является дедекиндовой решеткой с дополнениями.

П. п. размерности больше двух дезаргово (см. Дезарга предложение), а следовательно, изоморфно П. п. (левому или правому) над подходящим телом k (см. [1]). (напр., левое) размерности пнад телом k - совокупность линейных подпространств нек-рого (n+1 )-мерного левого линейного пространства над телом k;точками являются прямые , т. е. множества классов эквивалентности слева строк ( х ₀, x₁, . . ., х _п), составленных из элементов тела kи не равных одновременно нулю (строки (x₀, x₁, . . ., х _n).и (y₀, y₁, . . ., y_n).эквивалентны слева, если существует такое , что x_i=ly_i, i=0, l, . . ., n); подпространствами являются (n+1 )-мерные подпространства . Можно установить нек-рое соответствие между левым и правым П. п., при к-ром подпространству соответствует (подпространства и наз. дуальными друг другу), пересечению подпространств соответствует сумма, а сумме - пересечение. Если нек-рое утверждение, основанное только на свойствах линейных подпространств, их пересечений и сумм, справедливо для , то справедливо и соответствующее утверждение для . Это соответствие между свойствами пространств и наз. принципом двойственности для П. п. (см. |2]).

Конечное тело необходимо коммутативно, следовательно, конечное П. п. размерности больше двух и порядка qизоморфно П. п. над Галуа полем PG(n, q). Конечное П. п. Р( п, q).содержит (q ^п+1-1)/(q-1) точек и подпространств размерности r(см. [4]).

Коллинеацией П. п. является перестановка ее точек, к-рая отображает прямые в прямые, при этом подпространства отображаются на подпространства. Нетривиальная коллинеация П. п. имеет не более одного центра и не более одной оси. Группа коллинеа-ций конечного П. п. PG(n, p^h).имеет порядок, равный

Каждое П. п. PG(n, q).допускает циклическую транзитивную группу коллинеаций (см. [3]).

Корреляцией d П. <п. является перестановка подпространств, к-рая меняет включения, т. е. если , то . П. п. допускает корреляцию, только если оно конечномерно. Важное значение в проективной геометрии играет корреляция порядка два, наз. поляритетом.

Лит.:[1] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [2] Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1, М., 1954; [3) Dеmbоwski P., Finite geometries, В. -[а. о.], 1968; [4] Segre В., Lectures on modern geometry, Roma, 1961. В. В. Афанасьев.