ЛУЗИНА - ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМЫ

в теории функций комплексного переменного - классические результаты Н. Н. Лузина и И. И. Привалова, выясняющие характер граничного единственности свойства аналитич. функций (см. [1]).

1) Пусть f(z) - мероморфная функция комплексного переменного z в односвязной области Dсо спрямляемой границей Г. Если f(z) принимает угловые граничные значения нуль на множестве положительной меры Лебега на Г, то в D. Не существует мероморфной в Dфункции, имеющей бесконечные угловые граничные значения на каком-либо множестве положительной меры.

2) Пусть w=f(z) - мероморфная в единичном круге функция, отличная от константы и имеющая радиальные граничные значения (конечные или бесконечные) на множестве Е, расположенном на дуге s единичной окружности метрически плотном и второй категории по Бэру на ст. Тогда множество Wее радиальных граничных значений на Есодержит по крайней мере две различные точки. Метрическая плотность E на s означает, что любая порция Ена аимеет положительную меру. Отсюда следует, что если радиальные граничные значения f(z) на множестве Еуказанного типа равны нулю, то в D. Далее, не существует мероморфной функции в единичном круге, принимающей бесконечные радиальные граничные значения на множестве Еуказанного типа.

Н. Н. Лузин и И. И. Привалов (см. [1], [2]) построили примеры, показывающие, что условия метрич. плотности и 2-й категории по отдельности не являются достаточными для того, чтобы выполнялось утверждение теоремы 2.

См. также Граничные свойства аналитических функций, Лузина примеры, Предельное множество, Привалова теорема, Риссов теорема.

Лит.:[1] Лузин Н. Н., Привалов И. И., "Ann. sci. Ecolc norm, super." (3), 1925, t. 42, p. 143-91; [2] П р и в а-л о в И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [3] Л о в а т е р А., в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99-259.

Е. Д. Соломенцев.