ПРИВАЛОВА ОПЕРАТОРЫ

параметры Привалова,- операторы, позволяющие выразить условие гармоничности функции без использования частных производных. Пусть и(х) - локально интегрируемая функция в конечной области Dевклидова пространства - объем шара В(х; h).радиуса hс центром , расположенного в D;

Верхний и нижний операторы Привалова и соответственно определяются формулами

Если верхний и нижний П. о. совпадают, то оператор Привалова D^*u(x) определяется формулой

Если функция и(х).имеет непрерывные частные производные до 2-го порядка включительно в точке ,

то в этой точке существует П. о. D^*u(x), и он равен значению оператора Лапласа: D^*u(x)= Du(x). Справедлива теорема Привалова: если непрерывная в области Dфункция и(х).удовлетворяет всюду в Dусловию

то и(х) - гармонич. функция в D. Отсюда вытекает, что непрерывная функция и(х).в Dявляется гармонической тогда и только тогда, когда во всякой точке , начиная с достаточно малого h,D_hu(x)=0 или, иначе,

Среднее значение по объему шара здесь можно заменить средним значением по площади сферы.

Лит.:[1] Привалов И. И., "Матем. сб.", 1925, т. 32, с. 464-71; [2] его же, Субгармонические функции, М.- Л., 1937; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.