СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ

СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ

интеграл


с особенностью в точке х, определенный для интегрируемой на [a, b]функции f(x), ядро к-рого Ф n(t, х).удовлетворяет условиям: для любого d>0 и произвольного интервала


и


причем Ф x(d) зависит только от d и хи не зависит от п. Если условия (1), (2) и (3) выполняются равномерно на x-множестве , то интеграл In(f, х).наз. равномерно сингулярным на Е. Наиболее изучены свойства т. н. положительных ядер (Ф n(t, х)0), Дирихле ядер


ядер Фейера


ядер Пуассона - Абеля

ядер, порожденных различными методами суммирования ортогональных разложений по ортонормирован-ным полиномам.

Понятие "С. и." введено А. Лебегом [1], указавшим на его важность при исследовании вопросов сходимости. Так, к исследованию сходимости С. и. приводят вопросы сходимости и суммируемости тригонометрич. рядов Фурье, рядов по ортогональным многочленам, а также разложений по общим ортогональным системам.

А. Лебегом был установлен критерий сходимости С. и. для непрерывных функций f(х).с ограниченной вариацией. Д. К. Фаддеев [2] установил необходимые и достаточные условия для сходимости С. и. в точках Лебега суммируемой функции f(x). Так как данные А. Лебегом и Д. К. Фаддеевым условия сходимости С. и. трудно проверяемы для конкретных С. и., то целый ряд работ был посвящен отысканию эффективных достаточных условий сходимости С. и. как в отдельных точках, так и для равномерной сходимости. Для сходимости С. и. в точках непрерывности достаточна ограниченность нормы оператора In(f, х), т. е. ограниченность интеграла


а для сходимости в точках Лебега необходимо существование т. н. "горбатой мажоранты" для ядра Ф n(t, х), т. е. такой интегрируемой функции , к-рая монотонно возрастает на [ а, х), монотонно убывает на ( х, b]и для почти всех


причем


Лит.:[1] Lebesque H., "Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse", 1909, v. 1, p. 25 - 117; [2] Фаддеев Д. К., "Матем. сб.", 1936, т. 1, с. 351-68; [3] Коровкин П. П., Линейные операторы и теория приближений, М., 1959; [4] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 3 изд., М., 1974; [5] Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1963; [6] Ефимов А. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1960, т. 24, в. 5, с. 743-56; [7] Теляковский С. А., там же, 1964, т. 28, в. 6, с. 1209-36.

А. В. Ефимов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ" в других словарях:

  • Сингулярный интеграл —         1) одно из средств представления функций; под С. и. понимают интеграл вида                  ,          который при n → ∞ сходится (при тех или иных ограничениях на функцию f) к порождающей его функции f (х); функция Kn (x, t) называется… …   Большая советская энциклопедия

  • ВАЛЛЕ ПУССЕНА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл вида (см. также Балле Пуссена метод суммирования). Последовательность равномерно сходится к для функций , непрерывных и периодических на (см. [1]). Если в точке х, то при …   Математическая энциклопедия

  • ФЕЙЕРА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл вида где ядро Фейера. Ф …   Математическая энциклопедия

  • ГИЛЬБЕРТА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — не собственный (в смысле главного значения ио Коши) интеграл где периодич. функция наз. плотностью Г. с. и., а ядром Г. с. и. Если суммируема, то существует почти всюду, а если удовлетворяет условию Липшица с показателем то …   Математическая энциклопедия

  • ДЖЕКСОНА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — Джексона оператор, интеграл вида в к ром выражение называют ядром Джексона; впервые был применен Д. Джексоном [1] для оценки наилучших приближений функции f(x)через ее модуль непрерывности w(f, 1/n) или через модуль непрерывности ее производной… …   Математическая энциклопедия

  • КОШИ ИНТЕГРАЛ — 1) К. и. определенный интеграл от непрерывной функции одного действительного переменного. Пусть функция f(x).непрерывна на отрезке наз. определенным интегралом по К о ш и от функции f(x) на отрезке [ а, b]и обозначают К. и. частный случай Римана… …   Математическая энциклопедия

  • СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее искомую функцию под знаком несобственного интеграла в смысле главного значения по Коши. В зависимости от размерности многообразия, по к рому распространены интегралы, различают одномерные и многомерные С. и. у. По сравнению… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА — 1) П. т. о сопряженных функциях: пусть периодическая непрерывная функция с периодом 2p и тригонометрически сопряженная функция с f(t); тогда если f(t).удовлетворяет условию Липшица о показателем при 0<a<1 и имеет модуль непрерывности, не… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ — представление аналитич. функции в виде интеграла, зависящего от параметра. И. п. а. ф. возникли на ранних стадиях развития теории функций и математич. анализа вообще как удобный аппарат для обозримого представления аналитич. решений… …   Математическая энциклопедия

  • Сингулярные интегральные уравнения —         Интегральные уравнения с ядрами, обращающимися в бесконечность в области интегрирования так, что соответствующий несобственный интеграл, содержащий неизвестную функцию, расходится и заменяется своим главным значением по Коши. Примером С.… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»