БЕРНШТЕЙНА ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС

- последовательность алгебраич. многочленов, равномерно сходящаяся на отрезке [-1,1] к функции , непрерывной на том же отрезке. Точнее, Б. и. п.- последовательность алгебраич. многочленов

где

- Чебышева многочлены;

-узлы интерполяции;

если - произвольное натуральное число,

Отношение степени мдогочлена к числу точек, в к-рых совпадает с , равно , которое при стремится к ; при достаточно большом этот предел сколь угодно близок к единице. Б. и. п. указан С. Н. Бернштейном в 1931 (см. [1])

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., в кн.: Собр. соч., т. 2, М., 1954, с. 130-40. П. П. Коровкип.

ВЕРНШТЕИНА МЕТОД, метод вспомогательных функций,- метод, применяемый в теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Б. м. состоит в введении нек-рых новых (вспомогательных) функций, зависящих от искомого решения и позволяющих устанавливать для этого решения априорные оценки максимума модуля производных требуемого порядка.

Простым примером применения Б. м. является априорная оценка модуля производных решения задачи Дирихле для нелинейного (квазилинейного) эллиптйч. уравнения

где - гладкие функции от ; С- окружность, граница круга Dс радиусом R (предположение о том, что D - круг, а , не существенно, ибо общий случай произвольной односвяз-ной области и неоднородного граничного условия легко приводятся к рассматриваемому случаю с помощью замены функции и конформного преобразования области) .

Если , то оценка максимума модуля п

решения задачи (*) сразу получается из принципа максимума.

Для доказательства существования регулярного решения задачи (*) достаточно иметь априорные оценки максимума модуля производных решения до 3-го порядка (см. Продолжения по параметру метод). Для

оценки и достаточно оценить - полярные координаты в круге D. Пусть введена новая (вспомогательная) функция по формуле

где будет выбрано позже. Функция изменяется от до и в том же направлении, что и Так как

и аналогично для производных по у, то иудовлетворяет уравнению:

Пусть М - верхняя грань .

Если рассматривать как текущие координаты на штоскости, а как параметры, то уравнение есть уравнение эллипса, т. к. определитель , где

Таким образом, при любых не меньше нек-рого отрицательного числа (число легко указать в явном виде). Если ввести функцию по формуле

то

и достигает максимума на границе области , а так как постоянна на , то

-радиус окружности . Отсюда может быть найдена отрицательная нижняя грань для :

Применение тех же рассуждений к другой вспомогательной функции

позволяет получить оценку сверху

Таким образом, оценивается а значит, и и . Оценка максимума модуля первых производных внутри области проводится аналогично: вводится вспомогательная функция ипо формуле

Функция изменяется в том же направлении, что и , от до . Для из следует

Рассуждения, подобные приведенным, показывают, что если функция

достигает максимума в области D, то этот максимум не превосходит некоторого числа, зависящего лишь от n и М. Это дает требуемую оценку и .

Б. м. позволяет аналогичным образом оценить и максимум модуля в области всех старших производных решения (при этом дополнительно надо лишь дифференцировать исходное уравнение (*)).

Б. м. впервые был применен С. Н. Бернштейном [1].

В дальнейшем Б. м. развивался и систематически употреблялся при изучении различных задач для эллиптических и параболических дифференциальных операторов ([3] - [5]).

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., "Math. Ann.", 1906, Bd 62, S. 253-71; 1910, Bd 69, S. 82-136; [2] eго же, Собр. соч., т. 3, М., 1960; [3] Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М., 1964; [4] Погорелов А. В., Изгибание выпуклых поверхностей, М.- Л., 1951; [5] Олейник О. А ., Кружков С. Н., "Успехи матем. наук", 1961, т. 16, в. 5, с. 115-55. И. А. Шишмарёв.