ПОНТРЯГИНА ЧИСЛО

характеристическое число, определенное для действительных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения. Пусть - произвольный (необязательно однородный) стабильный характеристический класс. Для замкнутого ориентированного многообразия Мрациональное число х[М] = <х(tM), [М]> наз. числом Понтрягина многообразия М, соответствующим классу х, здесь t М - касательное расслоение. П. ч. х[М]зависит лишь от однородной компоненты степени dim Мкласса х. Пусть w= {i₁ , ... , i_k}- разбиение числа п, т . е. набор целых неотрицательных чисел i₁, ..., i_k,с i₁+... + i_k=n и .

Рациональные числа р _w[М]определены для замкнутого многообразия Мразмерности 4n и всех разбиений w числа n.

П. ч. х[М], х[N]двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий М, N равны: х[М]=х[N](теорема Понтрягина).

Согласно этой теореме каждый характеристич. класс индуцирует гомоморфизм Q, а каждый элемент индуцирует гомоморфизм . Другими словами, имеется отображение

Если все П. ч. и Штифеля числа двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).

Задача, аналогичная проблеме Милнора - Хирцебруха для квазикомплексных многообразий, состоит в том, чтобы описать образ отображения ф. Решение этой задачи основано на рассмотрении П. ч. в K-теории, соответствующих Понтрягина классамp_i в K-теории. Пусть w= {i₁, ... , i_n} - набор целых неотрицательных чисел, S_w(p).и S_w(e_p) - характеристич. классы, определяемые четными симметрич. рядами

соответственно, здесь S^w(t₁, ..., t_n) - минимальный симметрич. полином, содержащий одночлен , . Пусть - множество таких гомоморфизмов , для к-рых при всех наборах со. Тогда образ гомоморфизма

совпадает с В* (теорема Стонга - Хаттори).

Характеристич. числа L[М]и [М], соответствующие классам , наз. L-pодом и

-родом соответственно многообразия М.

Для замкнутого многообразия М, размерность к-рого делится на 4, имеет место равенство L[М] = I (М), где I(М) -сигнатура многообразия, т. е. сигнатура квадратичной формы пересечения, определенной на H_n/2(M), n=dimM(теорема Хирцебруха). Для замкнутого спинорного многообразия Мчетной размерности спинорный индекс М, т. е. индекс оператора Дирака на М, совпадает с [М].

Лит. см. при ст. Понтрягина класс. А. Ф. Харшиладзе.