ПОПЕРЕЧНИК

множества - величина, характеризующая уклонение множества в метрич. пространстве от нек-рой системы объектов (как правило, конечномерных) при определенном методе приближения, а также величина, характеризующая точность восстановления элемента из данного множества при определенном методе кодирования. Наиболее изучены П., характеризующие возможность аппроксимации множества конечномерными компактами и конечномерными линейными многообразиями (поперечники по Александрову и поперечник по Колмогорову).

Пусть X - нормированное пространство с единичным шаром В, - аппроксимируемое подмножество в ,- нек-рая совокупность аппроксимирующих подмножеств, F( С, А) - нек-рая совокупность отображений , наконец, - заданная совокупность отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее множества. Число

(1)

характеризует величину уклонения аппроксимируемого множества Сот совокупности аппроксимируемых множеств при методе аппроксимации .

Большинство П., характеризующих аппроксимационные свойства того или иного аппарата приближения, задаются по типу (1).

Если -совокупность { М _N}всех линейных многообразий (т. е. сдвигов линейных подпространств) размерности , a F( С, М _N) - совокупность всех отображений из С в М _N, то величина (1), называемая N- поперечником по Колмогорову множества Си обозначаемая обычно d_N(C, X), характеризует минимальное уклонение данного множества С

от N-мерных линейных многообразий, т. <е. характеризует аппроксимативные возможности N-мерных линейных многообразий. Другие равносильные и общепринятые определения d_N таковы (см. [1]):

(1')

Если (или= - совокупности всех подпространств {L_N} размерности , а F( С, M_N)(F(C, L_N)) - совокупность всех аффинных (линейных) непрерывных отображений из С в M_N(L_N), то величина (1), обозначаемая a_N (С, Х).l_N( С, X)).и называемая аффинным (линейным) N- поперечником, характеризует аппроксимативные возможности аффинных (линейных) N-мерных отображений.

Если есть совокупность {К _N} всех N-мерных компактов (или, равнозначно, всех N-мерных полиэдров), a F(C, K_N) - множество всех непрерывных отображений из С в K_N, то величина (1), называемая N- пoперечником по Александрову и обозначаемая а _N( С, X), характеризует степень аппроксимации множества С N -мерными компактами.

Если - совокупность {x_N} всех N-точечных множеств x_N{х ₁, ... , x_N} в X,a F(C,x_N) - совокупность всех отображений из С в x_N, то П. (1), обозначаемый e_N (С, X), характеризует наименьшее уклонение данного Сот N-точечных множеств, т. е. характеризует аппроксимативные возможности N-точечных множеств.

Все введенные выше аппроксимативные П. зависят от объемлющего пространства Xи могут изменяться при погружении Сс его метрикой в другое нормированное пространство.

Другой тип П. связан с задачами "кодирования" элементов множества Сэлементами другой природы или, как этот процесс еще иначе называют, с задачей восстановления. Пусть С - метрич. пространство, Z={z} - нек-рая совокупность "кодирующих" множеств, j(С, z) - нек-рая совокупность отображений f : С z. Наконец, - заданная совокупность методов кодирования. Величина

(2)

где через D(Е).обозначен диаметр множества Е, характеризует восстановимость элементов множества Спо информации, "закодированной" элементами множеств z из Zс помощью отображений из Ф. Большинство П., связанных с процессами восстановления, задается по типу (2).

Если Ф - совокупность всевозможных отображений из Св Z, состоящего из одного множества (1, ... , N}, то П. (2), обозначаемый e^N(C), характеризует точность восстановления элемента с помощью таблицы, состоящей из N элементов. Если Слежит в линейном нормированном пространстве Xи Ф - совокупность всех непрерывных аффинных отображений из Xв R^N, то величина,, равная р ^ф (С)/2, где р ^ф (С).определено в (2). называемая N-поперечником по Гельфанду и обозначаемая d^N(C), характеризует точность восстановления элементов но их образам при аффинных отображениях в . Для центрально-симметричных множеств величины d^N имеется другое равносильное определение:

(2')

где L^N- замкнутое подпространство коразмерности N. Пусть Zсостоит из всех N-мерных компактов {K_N},j ( С, K_N) - совокупность всех непрерывных отображений из С в , тогда (2) называется

N-поперечником по Урысону и обозначается u_N(C). Другое равносильное и общепринятое определение поперечника Урысона таково: u_N(C).есть нижняя грань диаметров покрытий множества Скратности N+1. Поперечник по Урысону характеризует степень N-мерности (с точки зрения брауэровской размерности) множества С.

Впервые величину, названную впоследствии П., ввел в 1923 П. С. Урысон (см. [2]), когда он определил u_N. В 1933 П. С. Александров [3] вскрыл аппроксимативные аспекты теории размерности, что привело его к определению a_N. В 1936 А. Н. Колмогоров [1] определил d_N - именно этот П. наиболее интенсивно изучался далее в теории приближений. В 1931 Л. С. Понтрягин и Л. Г. Шнирельман (см. [4]) выразили размерность (топологич. характеристику), использовав асимптотическую метрич. характеристику N_e (С).(обратную к поперечнику e^N(C)), равную для метрич. пространства Снаименьшему числу элементов 2e-покрытия для множества С. Интерес к подобным величинам возрос в 50-х гг., когда А. Н. Колмогоров [5], базируясь на идеях теории информации, ввел величину N_e (С, X).(обратную к поперечнику e_N( С, X)).и сформулировал программу исследований величин типа N_e(C), N_e(C, X).и им подобных как специальный раздел теории приближений, связанный с вопросами наилучшего табулирования функций. Двоичный логарифм величины N_e(C, X).получил название e -энтропии множества С,a log₂N_e (С) - абсолютной e-энтропии множества С.

Получено множество конкретных результатов, где те или иные П. (названные выше и иные) вычислялись для различных функциональных классов и геометрич. объектов. Такие вычисления можно разделить на две группы - асимптотические и точные.

Вот нек-рые результаты, касающиеся асимптотич. вычислений П. соболевских классов. Пусть W^r_p - совокупность функций r(.).па конечном отрезке (скажем, на [0, 1]), у к-рых (r-1)-я производная абсолютно непрерывна и для r-й производной выполнено неравенство

Доказана следующая асимптотич. формула:

(3)

Из частных случаев верхней строки формулы (3) следует, что асимптотически наилучшим аппроксимирующим пространством является пространство тригонометрич. полиномов или пространство сплайнов с равномерно распределенными узлами.

Ожидалось, что всегда имеет место такая асимптотика, т. е. подпространство тригонометрич. полиномов данной степени всегда будет асимптотически экстремальным. Однако оказалось, что это не так (см. [10], [13]). Тригонометрич. полиномы lin {cos nt,sin nt,0 nN} оказались асимптотически не экстремальными. Однако в ряде случаев "переставленные" гармоники, т. е. Nгармоник, взятых в "неправильном" порядке, все-таки оказались экстремальными.

Решение задачи о П. соболевских классов опирается на исследование вопроса о поперечнике n-октаэдров в :

При величина определяется точно; при p<q точно вычислена величина , она оказалась равной . Принципиальную роль при вычислении колмогоровских П. соболевских классов играют следующие оценки (см. [13]):

A) ;

Б)

где А - постоянная;

B) если , то при имеет место неравенство

Рассмотрен вопрос и об асимптотич. поведении александровских П. соболевских классов. Оказалось, что

Решить вопрос о точном вычислении П.- это найти экстремальный для данного класса аппарат приближения. Первый результат этого рода принадлежит А. Н. Колмогорову [1], к-рый решил задачу о вычислении поперечника и аналогичную задачу для периодич. класса в метрике L₂([-p, p]).

Для вычисления точного значения поперечника впервые привлечены (см. [7]) топологич. методы (теорема о поперечнике шара, сводящаяся к теореме Борсука об антиподах). Эта теорема была обобщена (см. [12]) и применена к нахождению других точных решений. Впоследствии обнаружились интересные связи с вариационным исчислением и оптимальным управлением (см. [9]).

О поперечниках e_N, e^N и обратных к ним величинах N_e(C).и N_e(C, X).см. e -энтропия.

Вопросы о П. имеют тесное соприкосновение с разнообразными задачами геометрии. Напр., задача об асимптотике величины тесно связана с задачей о наилучшем замощении пространства сферами. Зависимость асимптотических П. от объемлющего пространства привела к идее введения абсолютных П.- величин

где нижняя грань берется по всем вложениям С с его метрикой в объемлющее пространство X. При этом оказывается (см. [9]), напр., что

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Ann. Math.", 1936, v. 37, p. 107-10; [2] Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1, М.- Л., 1951, с. 483; [3] Александров П. С., "Fund, math.", 1933, v. 20, p. 140-50; [4] Понтрягин Л., Шнирельман Л. Г., в кн.: Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948, с. 210-18; [5] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1956, т. 108, М 3, с. 385-88; [6] Брудный Ю. А., Тима н А. Ф., там же, 195", т. 126, № 5, с. 927-30; [7] Тихомиров В. М., "Успехи матем. наук", I960, т. 15, в. 3, с. 81 - 120; 1965, т: 20, в. 1, с. 227-30;' E8] его же, Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; [9] его же, в кн.: Теория приближения функций. Тр. Межд. конф. по теории приближения функций. Калуга. 1975, М., 1977, с. 359-65; [10] Исмагилов Р. С., в кн.: Геометрия линейных пространств и теория операторов, Ярославль, 1977, с. 75-113; [11] его же, "Успехи матем. наук", 1974, т. 29, в. 3, с. 161-78; [12] Маковоз Ю. И., "Матем. сб.", 1972, т. 87, № 1, с. 136-42; [13] Кашин Б. С., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1977, т. 41, № 2, с. 334-51; [14] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976.

В. М. Тихомиров.