- БЕМОЛЬНАЯ ФОРМА
- измеримая r-мерная дифференциальная форма
на открытом множестве
такая, что:
комасса
для нек-рого
;
существует
с
для любого симплекса
, удовлетворяющего условию: существует измеримое
такое, что
измерима на
и на любой из его граней
, составляющих
, причем
здесь
означает
-мерную меру Лебега пересечения множества Мс нек-рой s-мерной плоскостью.
Если Xесть r-мерная бемольная коцепь в Л, то существует ограниченная
-мерная форма
в R, измеримая в любом симплексе
относительно плоскости, содержащей
, и
причем
где
- комасса коцепи X. Обратно, любой г-мерной Б. ф.
в
соответствует но формуле (1) единственная r-мерная бемольная коцепь
для любого симплекса
, удовлетворяющего вышеуказанному условию, причем
Форма
и коцепь Xназ. ассоциированным и. Формы, ассоциированные с одной и той же коцепью, эквивалентны, т. е. равны почти всюду в R, и среди них есть бемольный представитель.
Между n-мерными бемольными коцепями Xи классами эквивалентных измеримых ограниченных функций
существует взаимно однозначное соответствие, при к-ром
, а
где
- последовательность
-мерных симплексов, стягивающихся к точке
так, что их диаметры
,
но
при нек-ром
для всех
- объем
Пусть
- измеримая суммируемая функция в R, значениями к-рой являются r-векторы; она наз. соответствующей r-мерной бемольной цепи А, если
для всех r-мерных бемольных коцепей X(и тогда Аназ. лебеговой цепью). Отображение
является линейным взаимно однозначным отображением множества классов эквивалентности функций
в пространство бемольных цепей
, причем
где
- масса цепи
- масса r- вектора
. Кроме того, множество образов непрерывных функций
плотно в
.
Представления (1) и (2) обобщают аналогичные результаты для диезных форм и диезных коцепей; напр., дифференциал Б. ф.
, определяемый формулой
, является также Б. ф., и выполнена теорема Стокса: для любого симплекса
; r-мерная бемольная
коцепь - слабый предел гладких коцепей, т. е. таких, для к-рых ассоциированные формы со являются гладкими, и т. д.
Лит.:[1] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960. М. И. Войиеховский.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.