- ПИКАРА СХЕМА
- естественное обобщение в рамках теории схем понятия Пикара многообразия
гладкого алгебраич. многообразий X. Для определения П. с. произвольной "S-схемы Храссматривается относительный функтор Пикара PicX/S на категории Sch/S схем над схемой S. Значение этого функтора На S-cхеме S' есть группа
где
есть морфизм замены базы,
- пучок на топологии Гротендика
S'fpqc строго плоских квазикомпактных морфизмов, ассоциированный с предпучком
а G т обозначает стандартный мультипликативный пучок. Если функтор Пикара PicX/S представим на (Sch/S), то представляющая его S-схема наз. относительной схемой Пикара S-схемы Xиобозначается Piс X/S. В случае, когда X - алгебраич. схема над нек-рым полем k, имеющая рациональную k-точку,
для любой k-схемы S' (см. [3]); в частности,
= = Pic(X) отождествляется с группой k-рациональных точек
схемы
, если таковая существует.
Если
- проективный морфизм с геометрически целостными слоями, то схема
существует и является локально конечно представленной отделимой групповой S-схемой. Если S=Spec(k), то связная компонента единицы
схемы
является алгебраической k-схемой и соответствующая приведенная k-схема
есть в точности многообразие Пикара
(см. [4]). Нильпотентные элементы в локальных кольцах схемы
дают много дополнительной информации о П. с. и позволяют объяснить ряд паталогий в алгебраич. геометрии над полем характеристики р>0. С другой стороны, над полем характеристики 0 схема
всегда приведена (см. [6]). Известно также, что схема
приведена, если F - гладкая алгебраич. поверхность и
(см. [5]).
Для любого собственного плоского морфизма f:
(конечно представленного, если база Sнётерова), для к-рого
, при любой замене базы
функтор
является алгебраич. пространством над S(см. [1]), В частности, функтор
представим, если базисная схема Sесть спектр локального артинова кольца.
Лит.:[1] Аrtin M., в сб.: Global analysis. Papers in Honor of К. Kodaira, Tokyo, 1969, p. 21-77; [2] Сhevalleу С., "Amer. J.Math.", 1960, v. 82, p. 435-90; [3] Grоthendieck А., в кн.: Seminalre Bourbaki, 1961-1962, annee 14, [P., 1962], p. 232/01-232/19; [4] eго же, "Pub], math. Inst. hautes etudes sclent.", 1960, Mi 4, p. 1-168; [5] Mамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраических поверхностях, пер. с англ., М., 1968; [6] Ооrt F., "Invent, math.", 1966, v. 2, № 1, p. 79- 80; [7] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47-112. В. В. Шакуров,
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.