ПИКАРА СХЕМА

ПИКАРА СХЕМА

- естественное обобщение в рамках теории схем понятия Пикара многообразия гладкого алгебраич. многообразий X. Для определения П. с. произвольной "S-схемы Храссматривается относительный функтор Пикара PicX/S на категории Sch/S схем над схемой S. Значение этого функтора На S-cхеме S' есть группа


где есть морфизм замены базы, - пучок на топологии Гротендика

S'fpqc строго плоских квазикомпактных морфизмов, ассоциированный с предпучком

а G т обозначает стандартный мультипликативный пучок. Если функтор Пикара PicX/S представим на (Sch/S), то представляющая его S-схема наз. относительной схемой Пикара S-схемы Xиобозначается Piс X/S. В случае, когда X - алгебраич. схема над нек-рым полем k, имеющая рациональную k-точку,


для любой k-схемы S' (см. [3]); в частности, = = Pic(X) отождествляется с группой k-рациональных точек схемы , если таковая существует.

Если - проективный морфизм с геометрически целостными слоями, то схема существует и является локально конечно представленной отделимой групповой S-схемой. Если S=Spec(k), то связная компонента единицы схемы является алгебраической k-схемой и соответствующая приведенная k-схема есть в точности многообразие Пикара (см. [4]). Нильпотентные элементы в локальных кольцах схемы дают много дополнительной информации о П. с. и позволяют объяснить ряд паталогий в алгебраич. геометрии над полем характеристики р>0. С другой стороны, над полем характеристики 0 схема всегда приведена (см. [6]). Известно также, что схема приведена, если F - гладкая алгебраич. поверхность и (см. [5]).

Для любого собственного плоского морфизма f: (конечно представленного, если база Sнётерова), для к-рого , при любой замене базы функтор является алгебраич. пространством над S(см. [1]), В частности, функтор представим, если базисная схема Sесть спектр локального артинова кольца.

Лит.:[1] Аrtin M., в сб.: Global analysis. Papers in Honor of К. Kodaira, Tokyo, 1969, p. 21-77; [2] Сhevalleу С., "Amer. J.Math.", 1960, v. 82, p. 435-90; [3] Grоthendieck А., в кн.: Seminalre Bourbaki, 1961-1962, annee 14, [P., 1962], p. 232/01-232/19; [4] eго же, "Pub], math. Inst. hautes etudes sclent.", 1960, Mi 4, p. 1-168; [5] Mамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраических поверхностях, пер. с англ., М., 1968; [6] Ооrt F., "Invent, math.", 1966, v. 2, № 1, p. 79- 80; [7] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47-112. В. В. Шакуров,


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "ПИКАРА СХЕМА" в других словарях:

  • ПИКАРА ГРУППА — группа классов обратимых пучков (или линейных расслоений). Более точно, пусть окольцованное пространство. Пучок модулей наз. обратимым, если он локально изоморфен структурному пучку . Множество классов изоморфных обратимых пучков на Xобозначается …   Математическая энциклопедия

  • СХЕМА — окольцованное пространство, локально изоморфное аффинной схеме. Подробнее, С. состоит из топологич. пространстна X (базисного пространства схемы) и пучка коммутативных колец с единицей на Х (структурного пучка схемы); при этом должно существовать …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — двумерное алгебраическое многообразие. Вместе с алгебраическими кривыми А. п. представляют собой наиболее изученный класс алгебраич. многообразий. Богатство задач и идей, применяемых для их решения, делает теорию А. п. одним из самых интересных… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ЦИКЛ — на алгебраическом многообразии элемент свободной абе левой группы, множество свободных образующих к рой все замкнутые неприводимые подмногообразия данного алгебраич. многообразия. Подгруппа группы алгебраич. циклов на многообразии , порожденная… …   Математическая энциклопедия

  • ДИВИЗОР — обобщение понятия делителя элемента коммутативного кольца. Впервые (под назв. идеальный делитель ) это понятие возникло в работах Э. Куммера [1] об арифметике круговых полей. Теория Д. для коммутативного кольца А с единицей без делителей нуля… …   Математическая энциклопедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — обобщение понятия схемы и алгебраического многообразия. К этому обобщению приводят нек рые конструкции алгебраич. геометрии: схемы Гильберта, схемы Пикара, мнoгообразия модулей, стягивания, не выполнимые зачастую в категории схем и требующие… …   Математическая энциклопедия

  • МОДУЛЕЙ ТЕОРИЯ — теория, изучающая непрерывные семейства объектов алгебраич. геометрии. Пусть А класс объектов алгебраич. геометрии (многообразий, схем, векторных расслоений и т. п.), на к ром задано нек рое отношение эквивалентности R. Основная задача… …   Математическая энциклопедия

  • ГЛАВНОЕ ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО — главный G объект в категории алгебраич. многообразий или схем. Если S схема, а Г схема групп над S, то главный G объект в категории схем над Г наз. Г. о. п. над S. В случае, когда S спектр поля kи Г алгебраическая k группа, Г. о. п. над Г есть… …   Математическая энциклопедия

  • ИРРЕГУЛЯРНОСТЬ — численный инвариант неособого проектного алгебраич. многообразия, равный размерности его Пикара многообразия. В случае, когда основное поло имеет характеристику нуль (или, более общо, если схема Пикара многообразия Xприведена), И. совпадает с… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛЯРИЗОВАННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — пара (V,x)> где V полное гладкое многообразие над алгебраически замкнутым полем k,| из Pic V/PicoV класс нек рого обильного обратимого пучка, PicoV связная компонента абелевой схемы Пикара Pic V. В случае, когда V абелево многообразие,… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»