ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ


ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

- вероятности перехода Маркова цепи. на отрезке времени [s, t]из состояния iв состояние j:


Ввиду основного свойства цепи Маркова для любых состояний (где S - множество всех состояний цепи) и любых s<t<u


Обычно рассматриваются однородные цепи Маркова, для к-рых П. в. pij(s, t).зависят от длины отрезка [s, t], но не от его положения на оси времени:


Для любых состояний i, j однородной цепи Маркова с дискретным временем последовательность pij(n).сходится по Чезаро, т. е. существует


При нек-рых дополнительных условиях (а также для цепей с непрерывным временем) пределы существуют и в обычном смысле. См. Маркова цепь эргодическая, Маркова цепи положительный класс состояний.

П. в. pij(t).цепи Маркова с дискретным временем определяются значениями для любых


В случае цепей Маркова с непрерывным временем обычно предполагается, что П. в. удовлетворяют дополнительным условиям: все pij(t).измеримы как функции ,


При этих предположениях существуют плотности вероятностей перехода

(1)

если все конечны и то П. в. pij(t)

удовлетворяют системам дифференциальных уравнений Колмогорова - Чепмена

(2)

с начальными условиями

(см. также Колмогорова уравнение, Колмогорова - Чепмена уравнение).

При задании цепи Маркова плотностями перехода (1) ее П. в. pij(t).удовлетворяют условиям


цепи, для к-рых при нек-рых и t>0, наз. нерегулярными (тогда имеет место неединственность решения систем (2)); если =1 для всех и t>0, то цепь наз. регулярной. Пример. Цепь Маркова x(t). с множеством состояний {0, 1, . . .} и плотностями перехода


(т. н, процесс чистого размножения) нерегулярна тогда и только тогда, когда


Пусть


тогда


и при имеет место , т. е. траектория цепи x (t)."с вероятностью 1 за конечное время уходит в бесконечность" (см. также Ветвящихся процессов регулярность).

Лит.:[1]Чжун Кай-лай, Однородные цепи Маркова, пер. с англ., М., 1964. А. М. Зубков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ" в других словарях:

  • МАРКОВА ЦЕПЬ — марковский процесс с конечным или счетным множеством состояний. Теория М. ц. возникла на основе исследований А. А. Маркова, к рый в 1907 положил начало изучению последовательностей зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин [1] …   Математическая энциклопедия

  • ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МАТРИЦА — матрица , элементами к рой являются переходные вероятности за время tоднородной Маркова цепиx(t) сне более чем счетным множеством состояний S: П. в. м. цепей Маркова с дискретным временем и регулярных цепей Маркова (см. Переходные вероятности).с… …   Математическая энциклопедия

  • Марковский процесс —         важный специальный вид случайных процессов (См. Случайный процесс), имеющих большое значение в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Примером М. п. может служить распад радиоактивного вещества.… …   Большая советская энциклопедия

  • ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС — случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением к. л. объектов (напр., частиц в физике, молекул в химии, особей к. л. популяции в биологии и т. п.). Основным математич. предположением, выделяющим класс …   Математическая энциклопедия

  • Вероятностный автомат —         система, в которой переход из одного состояния в другое происходит случайным образом. Вероятность этого перехода определяется последовательностью его предыдущих состояний (a1, a2,..., ai,..., an) и входными сигналами (S1, S2,..., Sm) и… …   Большая советская энциклопедия

  • КАНАЛ МНОГОСТОРОННИЙ — канал связи, для к рого возможна передача информации одновременно в нескольких направлениях. Ниже описан К. м. без памяти с дискретным временем и конечными алфавитами на входах и выходах. Пусть заданы s конечных множеств Y1, ..., Ys, где… …   Математическая энциклопедия

  • МАРКОВА ЦЕПЬ НЕРАЗЛОЖИМАЯ — цепь Маркова, переходные вероятности pij(t).к poii обладают следующим свойством: для любых состояний iи j существует такой момент времени tij, что Неразложимость цепи Маркова равносильна неразложимости матрицы переходных вероятностей для цепей… …   Математическая энциклопедия

  • МАРКОВА ЦЕПЬ РАЗЛОЖИМАЯ — цепь Маркова, переходные вероятности pij(t).к рой обладают следующим свойством: существуют такие состояния что Pij(t)=0 для всех Разложимость цепи Маркова равносильна разложимости матрицы переходных вероятностей для цепей Маркова с дискретным… …   Математическая энциклопедия

  • МАРКОВА ЦЕПЬ ЭРГОДИЧЕСКАЯ — однородная по времени цепь Маркова x(t), обладающая следующим свойством: существуют (не зависящие от i) величины где переходные вероятности. Распределение {р j} на множестве состояний цепи x(t) наз. стационарным распределением: если при всех j,… …   Математическая энциклопедия

  • ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ — вероятность перехода, семейство мер, используемых в теории марковских процессов для определения распределения процесса в будущие моменты времени по известным состояниям в предшествующие моменты. Пусть измеримое пространство таково, что s алгебра… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.