ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ МЕТОД

ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ МЕТОД

метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b с невырожденной матрицей А, основанный на процессе Грама-Шмидта ортогонализации системы векторов.

Если


то исходная система уравнений может быть записана в виде

(ai,y)=0, i = l, 2, ..., n.

Это значит, что решение системы равносильно нахождению вектора у, имеющего единичную последнюю компоненту и ортогонального ко всем векторам ai, i=l,2,..., п. Для этого к системе векторов a1,а 2,..., а n, а n+1, где а n+1=(0,0,...,1), линейно независимой в силу невырожденности матрицы А, применяется процесс ортогонализации, состоящий в построении ортонормированной относительно скалярного произведения ( х, у).системы векторов q1,q2,...,qn+1 по рекуррентным соотношениям


Коэффициенты ci здесь находятся из условия ортогональности vk, векторам q1,q2,...,qk-1 Векторы a1,а 2,...,а п линейно выражаются через q1,q2,...,qn, поэтому вектор qn+1=(z1,z2,...zn+1).ортогонален ко всем векторам al,a2,...,а n. При этом невырожденность матрицы Аобеспечивает выполнение . Таким образом,


- искомое решение системы.

Описанная схема О. м. хорошо вписывается в общую схему прямых методов решения системы: соотношения равносильны преобразованию матрицы системы в матрицу Ln,Ln-1,...L1 А, где


и тем самым осуществляют факторизацию матрицы системы в виде A = LQ, где L - треугольная, Q- унитарная матрицы.

Процесс факторизации матрицы Апо О. м. устойчив к ошибкам округления. Если в при выполнении операции скалярного произведения векторов использовать процедуру накопления с удвоенной точностью, то для факторизации матрицы по О. м. имеет место одна из лучших оценок точности в классе прямых методов. При этом, однако, свойство ортогональности векторов q1,q2,...,qn, то есть унитарности матрицы Q, неустойчиво по отношению к ошибкам округления. Поэтому решение системы, полученное из рекуррентных соотношений , может иметь большую погрешность. Для устранения этого недостатка используются различные методы переортогонализации (см. [1], [2]).

О. м. уступает многим прямым методам по быстродействию.

Лит.:[l] Воеводин В. В., Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977; [2] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975. Г. Д. Ким,


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ МЕТОД" в других словарях:

  • СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ МЕТОД — метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b с положительно определенной матрицей А. Это прямой и итерационный метод одновременно: при любом начальном приближении он сходится за конечное число итераций, давая точное решение. В С. г. м …   Математическая энциклопедия

  • МИНИМАЛЬНЫХ ИТЕРАЦИЙ МЕТОД — метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b, в к ром решение xпредставляется в виде линейной комбинации базисных векторов, ортогональных в нек рон метрике, связанной с матрицей системы. В случае симметричной матрицы Аортогональная… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — численные методы раздел вычислительной математики, посвященный математич. описанию и исследованию процессов численного решения задач линейной алгебры. Среди задач Л. а. наибольшее значение имеют две: решение системы линейных алгебраич. уравнений… …   Математическая энциклопедия

  • Томография — (др. греч. τομή  сечение)  метод неразрушающего послойного исследования внутренней структуры объекта посредством его многократного просвечивания в различных пересекающихся направлениях. Содержание 1 Терминологические вопросы …   Википедия

  • ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ — решения проблемы собственных значений матрицы методы нахождения собственных значений и собственных векторов (или корневого базиса) матрицы, минующие предварительное вычисление характеристич. многочлена. Эти методы существенно различаются для… …   Математическая энциклопедия

  • Проекционные методы решения СЛАУ — Проекционные методы решения СЛАУ  класс итерационных методов, в которых решается задача проектирования неизвестного вектора на некоторое пространство оптимально относительно другого некоторого пространства. Содержание 1 Постановка задачи …   Википедия

  • Сонин, Николай Яковлевич — род. в 1849 г. Образование получил в Москве, в 4 й гимназии и в университете по физико математическому факультету (1869). Был оставлен при Университете и в 1871 г. защитил диссертацию на степень магистра чистой математики под названием: "О… …   Большая биографическая энциклопедия

  • ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — векторное пространство Н над полем комплексных (или действительных) чисел вместе с комплексной (действительной) функцией ( х, у), определенной на и обладающей следующими свойствами. то существует такой элемент , что элемент хназ. пределом… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА — 1) О …   Математическая энциклопедия

  • Биортогонализация Ланцоша — процесс построения пары биортогональных базисов для двух подпространств Крылова и Метод был предложен венгерским физиком и математиком Корнелием Ланцошем и является расширением процедуры ортогонализации Ланцоша на случай, когда матрица …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»