ОБРАТИМЫЙ ЭЛЕМЕНТ

полугруппы с единицей - элемент х, для к-рого существует такой элемент у, что ху=1 (правая обратимость) или ух=1 (левая обратимость). Если элемент обратим и справа и слева, то он наз. двусторонне обратимым (часто просто обратимы м). Множество G(S)всех двусторонне О. э. полугруппы Sс единицей является наибольшей подгруппой из S, содержащей единицу. Бициклическая полугруппа доставляет пример существования элементов, обратимых только справа и только слева; более того, существование таких элементов в полугруппе S влечет наличие в Sбициклич. подполугруппы, единица к-рой совпадает с единицей полугруппы S. Другой альтернативой является ситуация, когда всякий односторонне О. э. полугруппы Sбудет двусторонне обратим- это имеет место тогда и только тогда, когда либо S=G(S), либо есть подполугруппа"(являющаяся, очевидно, наибольшим идеалом в S);такая полугруппа наз. полугруппой с отделяющейся групповой частью. Полугруппами с отделяющейся групповой частью будут, напр., всякая конечная полугруппа с единицей, всякая коммутативная полугруппа с единицей, всякая полугруппа с двусторонним сокращением и единицей, всякая мультипликативная полугруппа комплексных матриц, содержащая единичную матрицу.

Лит.:[1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, т. 1, пер. с англ., М., 1972; [2] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1900.

Л. Я. Шеврин.