ОБЪЕМ

трехмерного тела - числовая характеристика тела, равная в простейшем случае, когда тело можно разбить на конечное множество единичных кубов (т. е. кубов с ребрами длины единица), числу этих кубов. О. трехмерных тел (т. е. множеств трехмерного евклидоБа пространства), для к-рых они определены, обладают свойствами, аналогичными свойствам площадей плоских фигур: 1) О. неотрицательны; 2) О. аддитивны: если для двух тел Ри Q, не имеющих общих внутренних точек, определены О. и ,то О. их объединения равен сумме их О.3) О. инвариантны относительно перемещений: если для тел Ри Qопределены О. и они конгруентны, то 4) О. единичного куба равен единице. Из этих свойств следуют монотонность О.: если для тел Ри Qопределены О.то выполняется неравенство и равенство отношения О. подобных тел кубу коэффициента подобия.

На множестве всех многогранников существует и притом единственная неотрицательная функция, удовлетворяющая свойствам 1) - 4). Однако если на плоскости два любых равновеликих (имеющих одинаковую площадь) многоугольника равносоставлены, т. е. каждый из них допускает разбиение на многоугольники, из к-рых можно составить другой, то в пространстве аналогичное свойство уже не имеет места: существуют равновеликие (имеющие равные О.), но не равносоставленные многогранники (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры).

Понятие О. распространяется с сохранением свойств 1) - 4) при помощи предельного перехода с множества многогранников на более широкие классы тел, напр, на тела с кусочно гладкой границей, в частности на шары, шаровые слои, шаровые сегменты и секторы, цилиндры, конусы и т. п. Если граница ограниченного тела G является кусочно гладкой поверхностью, то его О. определяется следующим образом. Рассматриваются всевозможные многогранники Р, лежащие в теле G, и всевозможные многогранники Q, содержащие в себе тело Тогда справедливо равенство

Это общее значение указанных нижней и верхней граней и наз. объемом тела G. Аналогично случаю вычисления площадей плоских фигур для вычисления О. тел также применяется метод разбиения тела на части, для к-рых О. либо уже известен, либо может быть найден более простым путем. При этом для О. справедлив принцип Кавальери: если два тела, для к-рых определен О., пересекаются каждой плоскостью, параллельной нек-рой заданной, по конгруэнтным плоским фигурам, то они равновелики.

О6щий метод вычисления О. дает интегральное исчисление: вычисление О. сводится к вычислению соответствующих кратных интегралов. Интегральное исчисление дает возможность обосновать и принцип Кавальери.

Расширение понятия О. на еще более широкий класс подмножеств трехмерного евклидова пространства приводит к понятию трехмерной Жордана меры и понятию кубируемого множества. Все упоминавшиеся выше тела являются кубируемыми множествами и потому для них определена мера Жордана.

Если - трехмерное непрерывно дифференцируемое многообразие с рнмановой метрикой

и то объемом множества E, лежащего в многообразии , наз. величина интеграла

Так определенный О. множества инвариантен относительно выбора локальных координат на рассматриваемом многообразии.

Определение О. трехмерного тела обобщается на случай подмножества произвольного n-мерного евклидова пространства ; n-мерным объемом также наз. функция множества, удовлетворяющая условиям 1) - 4), если только под кубом понимать n-мерный куб. Вычисление О. множеств n-мерного пространства сводится к вычислению n-кратных интегралов.

Если Еесть n-мерный параллелепипед, натянутый на радиус-векторы то

(под корнем стоит абсолютная величина определителя Грама векторов ).

О. подмножества Е п- мерного риманова многообразия с метрикой

наз. величина интеграла

где

Обобщением понятия О. является понятие меры. Иногда термины "О". и "мера" употребляются как синонимы.

Понятие О. рассматривается не только в евклидовых, но и в аффинных пространствах. Пусть Е- подмножество n-мерного аффинного пространства и пусть в задана аффинная система координат Пусть

Если - другая система координат и то т. е. интеграл является знакопостоянным относительным инвариантом веса - 1. Относительный инвариант наз. аффинным О. множества Е. Аффинный О. но меняется при параллельном переносе. и если определены, то . Аффинный О. обладает следующими свойствами, инвариантными относительно аффинного преобразования координат: 1) если О. двух тел равны в одной системе координат, то они равны и в другой; 2) если О. нек-рого множества равен сумме О. двух множеств в одной координатной системе, то это равенство верно и в другой; 3) отношение О. двух множеств является инвариантом аффинного преобразования координат.

Пусть - координатные векторы системы координат в пространстве и пусть их начала находятся в нек-рой фиксированной точке Если - нек-рая система векторов с началом в точке Ои Еесть n-мерный параллелепипед, натянутый на векторы то

Величина наз. ориентированным объемом параллелепипеда Еотносительно выбранного базиса

Лит.:[1] Никольcкий С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1-2, М., 1975; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Рашевский II. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1907; [4] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971

Л. Д. Кудрявцев.