ОБОБЩЕННЫЕ ТЕОРИИ КОГОМОЛОГИИ

экстраординарные теории когомологий,- класс специальных функторов из категории пар пространств в категорию градуированных абелевых групп.

О. т. к. есть пара - функтор из категории Рпар топологич. пространств в категорию GA градуированных абелевых групп (т. е. каждой паре пространств (X, А )отвечает градуированная абелева группа и каждому непрерывному отображению - набор гомоморфизмов

- заданный для каждой пары (X, А )набор гомоморфизмов

естественных в том смысле, что для любого непрерывного имеет место

причем должны выполняться следующие три аксиомы. 1) Аксиома гомотопии. Если два отображения гомотопны, то гомоморфизмы совпадают для всех п.

2) Аксиома точности. Для любой пары (X, А )последовательность

точна; здесь очевидные включения.

3) Аксиома вырезания. Пусть - пара пространств п пусть таково, что Тогда включение для всех пиндуцирует изоморфизмы

Для корасслоения из аксиом следует, что проекция - пространство, состоящее из одной точки, индуцирует изоморфизм

Часто вместо пишут просто , а вместо - просто . Группу наз. группой n-мерных (обобщенных) когомологий пары (X, А), а градуированную группу - группой коэффициентов О. т. к.

В определении О. т. к. можно вместо категории рбрать категорию пар корасслоений или категорию пар клеточных пространств, или категорию пар конечных клеточных пространств (при этом в аксиоме вырезания надо потребовать, чтобы пара была изоморфна объекту соответствующей категории. В этих случаях говорят, что О. т. к. определена на категории (соответственно ).

Выбор термина О. т. к. мотивируется следующим обстоятельством. Доказано [2], что любой функтор , удовлетворяющий аксиомам 1-3 и т. н. аксиоме размерности (состоящей в том, что при ), есть обычная теория когомологийс коэффициентами в . Позже было замечено, что многие полезные конструкции алгебраич. топологии (напр., кобордизмы, К-теория )удовлетворяют аксиомам 1-3 и что эффективность этих конструкций в значительной степени обусловлена свойствами, формально вытекающими из этих аксиом. Эти обстоятельства и привели к формированию понятия О. т. к.

Пусть X- пунктированное пространство и - пунктированное отображение. Группу приведенных обобщенных когомологий пространства Xопределяют, полагая

Имеется очевидное расщепление

и его можно сделать каноническим, считая, что вложение индуцировано отображением Ясно, что . Кроме того, для корасслоения из аксиом 1-3 следует изоморфизм (см. [2], [3]), так что . Здесь, как обычно, при

Если (X, А)- корасслоение, то из аксиом следует точность последовательности (естественной на категории корасслоений)

Здесь - очевидные отображения, а есть композиция

В частности, если Xесть конус С А над А, то (аксиома гомотоиии), а есть надстройка SA над А, и

точность последовательности (*) влечет изоморфизмы надстройки естественные по А. При этом изоморфизмы d позволяют восстановить гомоморфизмы (см. [2], [3]); это делается с использованием т. н. последовательности Пуппе. Применение к последней функтора дает точную последовательность (*). Таким образом, по приведенной О. т. к. полностью восстанавливается О. т. к.

О. т. к.наз. мультипликативной, если для любых пар пространств (X, A),(Y, В )из Рзадано естественное спаривание

удовлетворяющее условиям коммутативности и ассоциативности (см. [4], [5]). В этом случае для группа.является градуированным (коммутативным, ассоциативным) кольцом относительно умножения

где

- диагональ, и индуцированные отображения суть кольцевые гомоморфизмы. Более общим образом можно определить спаривание двух О. т. к. в третьей [5].

Обычные когомологий.можно определить как группу гомотопич. классов непрерывных отображений из Xв Эйленберга- Маклейна пространство K(G, n). Это обобщается и на О. т. к. следующим образом. Спектром пространств наз. последовательность пространств и непрерывных отображений где - надстройка над . Для пространства Xопределяется группа равенством

Здесь отображения

определяются композицией

Очевидным образом строятся изоморфизмы надстройки . Таким образом, каждый спектр пространств задает нек-рую О. т. к. и, значит, неприведенную О. т. к.Если для О. т. к.существует спектр, из к-рого она получается описанным выше способом, то говорят, что этот спектр представляет О. т. к. или что теория представ им а этим спектром. Известно, что любая О. т. к. на категории представима спектром, единственным с точностью до слабой гомотопич. эквивалентности.

Если О. т. к. представима кольцевым спектром пространств, то она мультипликативна [5]. Для О. т. к., заданной на категории , верно и обратное.

Пусть - расслоение в смысле Серра.

Для любой О. т. к. и любого пгруппы образуют локальную систему групп на пространстве В. Существует спектральная последовательность Дольда- Атьн - Хирцебруха начальный член к-рой есть . Если В- конечное клеточное пространство, то эта спектральная последовательность сходится и ее предельный член присоединен к группе h* (Е)(см. [1]). В частности, если , то получается спектральная последовательность позволяющая (иногда) вычислять группу по группам и

С каждой О. т. к. h* можно связать двойственную обобщенную теорию гомологии , аксиоматика к-рой аналогична аксиоматике О. т. к. с учетом того, что гомологии - ковариантиый функтор [4]. При этом если пространства Xи Y (n+1)-двойственны (см. S-двойственностъ), то

Кроме того, если О. т. к. представима спектром

то

При этом для мультипликативной О. т. к. имеется спаривание высечения :

Важнейшими примерами О. т. к. является K-теория и различные кобордизмы. Двойственные к кобордизмам обобщенные теории гомологии суть бордизмы.

Пусть есть и-мерное векторное расслоение над X, ориентируемое в О. т. к.- его Тома простран ство. В этом случае имеет место обобщенный Тома изоморфизм (см. ([1]). Отсюда (и из теоремы двойственности Атьи [7]) следует обобщенная Пуанкаре двойственность:пусть Р- Пуанкаре пространство формальной размерности п(напр., замкнутое n-мерное многообразие), нормальное расслоение к-рого ориентируемо в О. т. к. h*. Тогда для любого целого iимеет место Пусть есть N-мерное нормальное расслоение над Р п- его пространство Тома. Пространства -двойственны (отношение, названное в статье S-двойственность(n+1)-двойственностыо, часто наз. n-двойственность). Поэтому

Элемент zгруппы , отвечающий при этом изоморфизме единице наз. фундаментальным классом пространства Рв О. т. к., это понятие обобщает классич. понятие фундаментального класса. Доказано, что изоморфизм задается "высечением на фундаментальном классе", т. е. имеет вид (см. [4]).

Пусть F- одно из полей или тело кватернионов . Мультипликативная О. т. к. наз. F-ориентируемой, если все F-векторные расслоения ориентируемы в . Оказывается, что для любой F- ориентируемой О. т. к. и любого F-векторного расслоения над Xможно определить обобщенные характеристические классы расслоения со значениями в группе , при этом для F, соответственно равного, С

или , и обычной теории когомологий (или для .) получаются соответственно классы Штифеля, Чжэня или Бореля. При этом (см. Кобордизм )универсальной F-ориентированной О. т. к. является теория GF -кобордизмов. Это проявляется также в существовании спектральных последовательностей, связывающих где - одно из полей .

Кроме того, с каждой -ориентированной О. т. к. можно ассоциировать формальную группу над кольцом , и универсальность кобордизмов отражается и в том факте, что формальная группа теории унитарных кобордизмов универсальна (чисто алгебраически) в классе всех формальных групп. При этом формальная группа О. т. к. несет с последней довольно много информации.

Часто бывает необходимо продолжать О. т. к. с подкатегории на всю категорию. Напр., надо продолжить О. т. к., заданную на категории на всю категорию

Первый способ: берется спектр, представляющий (на ) О. т. к. , и с его помощью строится О. т. к. на всем .

Второйспособ: пусть О. т. к. ,задана на и - семейство конечных клеточных подпространств пространства Xи

Тогда - функтор на , удовлетворяющий всем аксиомам О. т. к., кроме аксиомы точности (функтор не сохраняет точность). При этом для любого и любой О. т. к. продолжающей О. т. к., естественный гомоморфизм

эпиморфен.

В общем случае должны, видимо, возникать спектральные последовательности, использующие высшие производные функторы и вычисляющие по и (эти спектральные последовательности известны (1982) лишь для ).

Для обобщенной теории гомологии , заданной на функтор

удовлетворяет аксиоме точности и, следовательно, всегда является продолжением с на .

Третий способ является аналогом способа Александрова - Чеха и основывается на использовании конструкции нерва.

О. т. к. можно продолжить и на категорию спектров: пусть - спектр пространств. Группа определяется соотношением

отображения имеют вид

Полученный функтор h* на категории спектров удовлетворяет всем аксиомам приведенной О. т. к. (при правильном их переносе в категории спектров) (см. [5]). Имеется естественная задача "сравнения" различных О. т. к., и в частности задача выражения одних О. т. <к. через другие. Решение последней можно рассматривать как далеко идущее обобщение формулы универсальных коэффициентов. Наиболее мощный аппарат здесь представляют спектральные последовательности адамсовского типа. Один такой пример уже приводился: это спектральные последовательности "от кобордизмов. к ориентированной О. т. к.". Другой пример: пусть и - две О. т. к. Пусть, далее,- кольцо когомологических операций теории - спектр, представляющий теорию , и X - нек-рый спектр (в частности, пространство). Тогда (при "хороших X, Y и ", см. [6]) существует спектральная последовательность,. начальный член к-рой есть а предельный член присоединен к . Есть и другие спектральные последовательности (см. [8], [9]), связывающие одни О. т. к. с другими.

Полезно было бы научиться трактовать О. т. к. как когомологический функтор, т. е. разлагать в композицию - канонический (не зависящий от ) функтор в абелеву категорию А. Один из путей реализации этого намечен в [8].

Лит.:[1] Дольд А., "Математика", 1965, т. 9, № 2, с. 8-14; [2] Стинрод Н., Эйленберг С, Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М-, 1958; [3] Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ., М., 1969; [4] Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974; [5] Switzer R., Algebraic topology-homo topy and homology, В., 1975; [6] Новиков С. П., "Изв. АН СССР, Сер. матем.", 1967, т. 31, №, с. 455-951; [7] Атья М., "Математика", 1966, т. 10, № 5, с. 48-69; [8] Adams J., Stable homotopy and generalised homology, Chi.- [a. o.], 1974; [9] Dуеr Е., Kahn D., "Trans. Amer. Math. Soc", 1969, v. 145, p. 397 - 437; [10] Milnor J., "Pacific J. Math.", 1962, v. 12, № 1, p. 337-41; [11] Dyer E., Cohomology theories, N. Y.-Amst., 1969.

Kl. Б. Рудяк.