ОБОБЩЕННЫЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

- классы функций, являющиеся различными обобщениями почти периодич. функций. Каждый из них обобщает какую-то из сторон в определениях Бора почти периодических функций и Бохнера почти периодических функций. В этих определениях встречаются следующие математич. понятия (структуры): 1) пространство функций, определенных на всей прямой как метрич. пространство с метрикой (расстоянием):

2) отображение прямой в комплексную плоскость (функция); 3) прямая линия как группа; 4) прямая линия как топологич. пространство.

Имеющиеся обобщения почти периодич. функций удобно классифицировать в согласии с этими структурами.

1)Если вместо непрерывности требовать от функции

, измеримость и суммируемость с р- йстепенью в каждом конечном промежутке, то в качестве расстояния можно принять одно из следующих трех выражений:

расстояние Степанова:

Этим расстояниям соответствуют обобщенные Степанова почти периодические функции, Вейля почти периодические функции и Безиковича почти периодические функции.

2) Пусть прямая отображается не в , а в банахово пространство В. Такое отображение наз. абстрактной функцией. Пусть абстрактные функции непрерывны и расстояние между ними определяется по формуле (*), в к-рой модуль заменен нормой. Тогда определения Бора и Бохнера обобщаются и приводят к т. н. абстрактным почти периодическим функциям.

Дальнейшее обобщение получается заменой банахова пространства на топологическое векторное пространство. В этом случае почти период определяется так: для всякого существует такая окрестность нуля , что .

Если топологию, определяемую нормой, заменить слабой топологией, то получаются т. н. слабо почти периодические функции: функция , , , наз. слабо почти периодической, если для любого функционала есть числовая почти периодич. функция.

3) Пусть вместо прямой рассматривается произвольная группа G(не обязательно топологическая) и отображение группы Gв топологическое векторное пространство (в частности, в ). В качестве определения почти периодич. функций удобней принять определение Бохнера:наз. почти периодической функцией на группе, если семейство функций (или, что эквивалентно, семейство ), условно компактно.

3) В определении почти периодич. функции на группе важна не сама групповая операция, а операция сдвига на функциях: (или ),

Поэтому дальнейшее обобщение почти периодич. функций получается обобщением операции сдвига. Пусть W- абстрактное пространство (не обязательно группа) и - функция, определенная на . Семейство линейных операторов наз. обобщенного сдвига операторами, если выполняются следующие аксиомы:

) ассоциативность:

2) существование нейтрального элемента, т. е. такого элемента что где - единичный оператор.

Функция наз. почти периодической относительно семейства операторов обобщенного сдвига , если семейство функций ( х - параметр) условно компактно относительно равномерной сходимости на W. Следует отметить, что теория таких функций относительно даже конкретных семейств операторов обобщенного сдвига еще слабо разработана (см. [1], [5]).

4) Пусть - произвольное конечное или счетное множество действительных чисел. Пусть прямая превращена в топологическое векторное пространство заданием окрестности нуля как множества действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам (числа и Nвыбираются произвольно и определяют окрестность нуля). Оказывается, что почти периодич. функции Бора совпадают с функциями, равномерно непрерывными в этой топологии (в качестве чисел можно взять показатели Фурье функции или их целый базис). Функции, непрерывные в указанной топологии, дают еще одно обобщение почти периодич. функций. Это - так наз. N-почти периодические функции Левитана. Определение N-почти периодич. функций очевидным образом переносится на функции, определенные на абелевой группе (и менее очевидно - на некоммутативные группы).

В указанную здесь классификацию О. п. п. ф. не совсем хорошо укладываются т. н. асимптотические почти периодич. функции, введенные М. Фреше (см. [9], [10]) в связи с нек-рыми проблемами эргодич. теории. Функция наз. асимптотической почти периодической функцией, если для всех и произвольной последовательности действительных чисел существует подпоследовательность последовательности , для к-рой сходится равномерно для всех

Лит.:[1] Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М., 1953; [2] Besicoviteh A., Almost periodic functions, Camb., 1932; [3] Ameriо L., Proust G., Almostperiodic functions and functional equations, N. Y., 1971; [4] Bochner S., "Acta math.", 1933, v. 61, p. 149-84; [5] Марченко В. А., в кн.: Тр. Моск. матем. об-ва, т. 2, М., 1953, с. 3-83; [6] Левин Б. Я., "Укр. матем. ж.", 1949, т. 1, с. 49-101; [7] Веsiсоvitсh A., Bohr H., "Acta math.", 1931, v. 57, p. 203-92; [8] Левитан Б. М., Жиков В. В., Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения, М., 1978; [9] Freсhet М., "С. r. Acad. sci", 1941, t. 213, p. 520-22; [10] его же, "Proc. Roy. Soc. Edinburgh (A)", 1950, v. 63, p. 61-68.

Б. М. Левитан.