- НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ОПЕРАТОР
- отображение Амножества Мтопологического векторного пространства Xв топологическое векторное пространство Y такое, что существует ограниченное множество
, образ к-рого
есть неограниченное множество в Y.
Простейшим примером Н. о. является оператор дифференцирования
, определенный на множестве
всех непрерывно дифференцируемых функций пространства
всех функций, непрерывных на
, так как оператор
переводит ограниченное множество
в неограниченное множество
. Н. о. Анеобходимо разрывен в нек-рых (а если Алинеен, то и во всех) точках своей области определения. Поэтому важным классом Н. о. являются замкнутые операторы, обладающие свойством, в нек-рой степени заменяющим свойство непрерывности.
Пусть Аи В- Н. о. с областями определения DA и
. Если
, то на этом пересечении определен оператор
(или
), и аналогично, если
, то определен оператор
. В частности, таким образом определяются степени
Н. о. А. Оператор Вназ. расширением оператора А,
, если и
для
.
Так,
. Перестановочность двух операторов обычно рассматривается для того случая, когда один из операторов ограничен: Н. о. Аперестановочен с ограниченным оператором В, если
.
Для линейных Н. о. определяется понятие сопряженного оператора. Пусть Н. о. А, заданный на множестве DA , плотном в топологическом векторном пространстве X, действует в топологическое векторное пространство Y. Если
и
- пространства, сильно сопряженные соответственно с Xи Y, и
- совокупность линейных функционалов
, для к-рых существует линейный функционал
такой, что
при всех
, то соответствие
определяет на
(к-рое, впрочем, может состоять лить из нулевого элемента) пространства
оператор
, наз. оператором, сопряженным с А.
Лит.:[1] Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [2] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [3] Рисе Ф-, Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, 2 изд., пер. с франц., М., 1979; [4] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [5] Нейман Д ж., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964.
В. И. Соболев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.