НЕЙМАНА СТРУКТУРА

- структура, определяемая статистикой, не зависящей от достаточной статистики. Понятие Н. с. введено Ю. Нейманом (J. Neyman, см. [1]) в связи с задачей построения подобных критериев в теории проверки статистич. гипотез, при этом сам термин "Н. с." употребляют по отношению к структуре статистич. критерия, если его критич. функция имеет Н. с. Пусть по реализации случайной величины X, принимающей значения в выборочном пространстве надлежит проверить сложную гипотезу причем для семейства существует достаточная статистика Тс распределением из семейства . В этом случае любой статистич. критерий уровня , предназначенный для проверки гипотезы , имеет Н. с, если его критич. функция удовлетворяет условию:

почти всюду по мере

Очевидно, что если статистич. критерий имеет Н. с, то он является подобным по отношению к семейству так как

для всех .

Выполнение условия (1) по существу сводит задачу проверки сложной гипотезы к задаче проверки простой гипотезы при каждом фиксированном значении tдостаточной статистики Т.

Пример. Пусть независимые случайные величины и подчиняются законам Пуассона, параметры к-рых и неизвестны, и пусть проверяется гипотеза против альтернативы В силу независимости статистика подчиняется закону Пуассона с параметром а условные распределения случайных величин и при условии T=t суть биномиальные распределения с параметрами соответственно, т. е.

При справедливости гипотезы статистика является достаточной для неизвестного общего значения а из (2) следует, что если гипотеза имеет место, то условное распределение случайной величины при фиксированном значении достаточной статистики является биномиальным с параметрами т. е. при Н ₀

Таким образом, в этом случае задача проверки сложной гипотезы свелась к задаче проверки простой гипотезы , согласно к-рой условное распределение случайной величины (при фиксированной сумме ) является биномиальным с параметрами и . Для проверки гипотезы можно воспользоваться, напр., знаков критерием.

Понятие Н. с. имеет большое значение в задаче проверки сложных статистич. гипотез, т. к. именно среди критериев, имеющих Н. с, часто находится наиболее мощный критерий. Э. Леман (Е. Lehmann) и Г. Шеффе (Н. Scheffe) показали, что статистич. критерий для проверки сложной гипотезы имеет Н. с. по отношению к достаточной статистике Ттогда и только тогда, когда семейство индуцированное статистикой Т, является ограниченно полным. На основе понятия Н. с. разработаны общие методы построения подобных критериев. См. Распределений полное семейство. Подобный критерий.

Лит.:[1] Нейман Дж., Текущие задачи математической статистики, [пер. с англ.]. Международный математический конгресс в Амстердаме. 1954, М., 1961; [2] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; [3] Линник Ю. В., Статистические задачи с мешающими параметрами, М., 1966.

М. С. Никулин.