- НЕЙМАНА СТРУКТУРА
- структура, определяемая статистикой, не зависящей от достаточной статистики. Понятие Н. с. введено Ю. Нейманом (J. Neyman, см. [1]) в связи с задачей построения подобных критериев в теории проверки статистич. гипотез, при этом сам термин "Н. с." употребляют по отношению к структуре статистич. критерия, если его критич. функция имеет Н. с. Пусть по реализации случайной величины X, принимающей значения в выборочном пространстве
надлежит проверить сложную гипотезу
причем для семейства
существует достаточная статистика Тс распределением из семейства
. В этом случае любой статистич. критерий уровня
, предназначенный для проверки гипотезы
, имеет Н. с, если его критич. функция
удовлетворяет условию:
почти всюду по мере
Очевидно, что если статистич. критерий имеет Н. с, то он является подобным по отношению к семейству
так как
для всех
.
Выполнение условия (1) по существу сводит задачу проверки сложной гипотезы
к задаче проверки простой гипотезы
при каждом фиксированном значении tдостаточной статистики Т.
Пример. Пусть независимые случайные величины
и
подчиняются законам Пуассона, параметры к-рых
и
неизвестны, и пусть проверяется гипотеза
против альтернативы
В силу независимости
статистика
подчиняется закону Пуассона с параметром
а условные распределения случайных величин
и
при условии T=t суть биномиальные распределения с параметрами
соответственно, т. е.
При справедливости гипотезы
статистика
является достаточной для неизвестного общего значения
а из (2) следует, что если гипотеза
имеет место, то условное распределение случайной величины
при фиксированном значении достаточной статистики
является биномиальным с параметрами
т. е. при Н 0
Таким образом, в этом случае задача проверки сложной гипотезы
свелась к задаче проверки простой гипотезы
, согласно к-рой условное распределение случайной величины
(при фиксированной сумме
) является биномиальным с параметрами
и
. Для проверки гипотезы
можно воспользоваться, напр., знаков критерием.
Понятие Н. с. имеет большое значение в задаче проверки сложных статистич. гипотез, т. к. именно среди критериев, имеющих Н. с, часто находится наиболее мощный критерий. Э. Леман (Е. Lehmann) и Г. Шеффе (Н. Scheffe) показали, что статистич. критерий для проверки сложной гипотезы
имеет Н. с. по отношению к достаточной статистике Ттогда и только тогда, когда семейство
индуцированное статистикой Т, является ограниченно полным. На основе понятия Н. с. разработаны общие методы построения подобных критериев. См. Распределений полное семейство. Подобный критерий.
Лит.:[1] Нейман Дж., Текущие задачи математической статистики, [пер. с англ.]. Международный математический конгресс в Амстердаме. 1954, М., 1961; [2] Леман Э., Проверка статистических гипотез, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; [3] Линник Ю. В., Статистические задачи с мешающими параметрами, М., 1966.
М. С. Никулин.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.