ХААГА ТЕОРЕМА

ХААГА ТЕОРЕМА

- следствие постулатов аксиоматич. квантовой теории поля, демонстрирующее нетривиальный характер связи свободного и взаимодействующего полей в релятивистской теории. Доказана Р. Хаагом (R. Haag) в 1955. Согласно X. т., взаимодействия представление в строго матем. смысле не существует.

Для простейшего случая нейтрального скалярного поля j( х)X. т. формулируется следующим образом (для более сложных полей формулировка X. т. принципиально не изменяется). Пусть существуют две неприводимые системы операторов (т. е. такие, что только оператор, кратный единичному, коммутирует со всеми операторами данной системы) квантованных полей j_i(x), ( х), i=1, 2 [точнее, их сглаженные аналоги (см. Локальный оператор) - опера-торнозначные обобщённые функции], и пусть в соответствующих гильбертовых пространствах существуют единственные вакуумные векторы |0_i>. Тогда, если справедливы постулаты релятивистской инвариантности, локальности и спектральности (см. Аксиоматическая квантовая теория поля )и операторы j_i (х )связаны унитарным преобразованием V(t):

(⁺ означает эрмитово сопряжение), то соответствующие Уайтмена функции Wⁱ_n (х₁, ..., х _n )совпадают при п<=4;

К наиб. существ. физ. результату X. т. приводит в том случае, когда одно из полей j_i(x) является свободным полем, поскольку из совпадения двухточечных ф-ций Уайтмена следует, что второе поле тоже является свободным. Иными словами, согласно X. т., взаимодействующее поле j( х) может описывать нетривиальную теорию рассеяния (т. е. теорию, в к-рой оператор матрицы рассеяния отличен от единичного) только тогда, когда не существует унитарного оператора V(t), связывающего j( х) со свободным полем.

Отсутствие хорошо определённого оператора V(t )связано с существованием т. н. странных (нефоковских) представлений (см. Представлений теория )канонических перестановочных соотношений (КПС). В отличие от квантовой механики, т. е. системы с конечным числом степеней свободы, в квантовой теории поля наряду с представлениями, в к-рых существует вакуумный вектор (фоковские представления) и к-рые все унитарно эквивалентны (теорема фон Неймана), возникают также "странные" представления, унитарно не эквивалентные фоковским. Можно сказать, что в этих представлениях в каждом состоянии содержится бесконечное число частиц.

X. т. показывает, что фоковские представления справедливы только для асимптотич. полей, т. е. при t+. При произвольном конечном t реализуются "странные" представления КПС. Появления "странных" представлений в принципе можно избежать, вводя пространственное "обрезание", т. е. рассматривая теорию в конечном объёме пространства. В этом случае необходимые для справедливости X. т. условия инвариантности не выполнены. Следовательно, ограничения, налагаемые X. т., утрачивают силу. Однако в таком подходе возникает сложная матем. проблема снятия "обрезания". Математически корректное построение нетривиальной теории квантованного поля пока осуществлено лишь для простейших случаев (см. Конструктивная квантовая теория поля).

X. т. может служить указанием на возможность столь сингулярного поведения КПС, что сглаживание операторов поля только по пространственным переменным становится невозможным, т. е. необходимо сглаживание и по временной переменной.

Лит.:Haag R., On quantum field theories, "Kgl. Danske Viden-skab. Seisk., Mat.-Fys. Medd.", 1955, v. 29, № 12; Стритер Р., Вайтман А., РСТ, спин и статистика и все такое, пер. с англ., М., 1966; Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодо-ров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, М., 1987.

Ю. С. Верное.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.