- МОРСА ФУНКЦИЯ
- гладкая функция, обладающая нек-рыми специальными свойствами. М. ф. возникают и используются в Морса теории.
Пусть
- гладкое гильбертово полное (относительно нек-рой римановой метрики) многообразие (напр., конечномерное), край к-рого
является несвязным объединением (возможно, пустых) многообразий V0 и V1 . М. ф. триады
- такая гладкая (класса
по Фреше) функция
(или
) при
, что:
1)
2)все критические точки функциилежат
в
и невырождены;
3) условие СПале - Смейла (см. [2], [3]): на любом замкнутом множестве
, где функция f ограничена, а нижняя грань функции
равна нулю, существует критич. точка функции f. Напр., если функция f собственная, т. е. все множества
компактны (что возможно только при
), то f удовлетворяет условию С. М. ф. достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности многообразия W. Если многообразие V конечномерно, то для
множество М. ф. класса
является множеством 2-й категории (а если Wкомпактно, то даже плотным открытым множеством) в пространстве всех функций
в
-топологии.
Лит.:[1] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Palais R., "Topology", 1963, v. 2, p. 299-340; [3] Smale S., "Ann. Math.", 1964, v. 80, p. 382-96.
M. M. Постников, Ю. В. Рудяк.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.