- Перестройка Морса
-
Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.
Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения
замкнутого многообразия
в клеточное пространство
существуют такой бордизм
и такое отображение
, что
, а
является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов
(где
— гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической L-теории.
Содержание
Конструкция
Пусть
— гладкое
-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена
-мерная сфера
. Предположим, что нормальное расслоение сферы
в многообразии
тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность
сферы
в
разлагается в прямое произведение
, где
— диск размерности
. Выбрав такое разложение, вырежем из
внутренность окрестности
. Получится многообразие, край которого разложен в произведение
сфер. Точно такой же край имеет многообразие
. Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие
без края, которое и называется результатом хирургии многообразия
вдоль сферы
.
Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности
сферы
в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы
в многообразии
, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия
.
Число
называется индексом хирургии, а пара
её типом. Если
получается из
хирургией типа
, то
получается из
хирургией типа
. При
многообразие
является дизъюнктным объединением многообразия
(которое может быть в этом случае пустым) и сферы
.
Примеры
- При
и
в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при
— тор.
- При
и
получается произведение
.
- Случай
и
сложнее: если сфера
вложена в
стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы
, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.
Свойства
- Если
является краем
-мерного многообразия
, то
будет краем многообразия
, полученного из
приклеиванием ручки индекса
.
- В частности, если
— гладкая функция на многообразии
и
— такие числа, что множество
компактно и содержит единственную критическую точку
, которая невырождена, то многообразие
получается из многообразия
хирургией индекса
, где
— индекс Морса критической точки
.
- Более общим образом, любая перестройка
многообразия
индекса
определяет некоторый бордизм
, и на триаде
существует
- В частности, если
- функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса
, причем любой бордизм
, на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
- Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
- При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.
Вариации и обобщения
- Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно линейных и топологических многообразий.
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Добавить иллюстрации.
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
Категория:- Топология
- При
Wikimedia Foundation. 2010.