МОДУЛЬ

- абелева группа с кольцом операторов. М. является обобщением (линейного) векторного пространства над полем Кдля случая, когда Кзаменяется нек-рым кольцом.

Пусть задано кольцо А. Аддитивная абелева группа Мназ. левым А- модулем, если определено отображение значение к-рого на паре для записывается как am, причем выполняются аксиомы:

Если кольцо Аобладает единицей, то обычно требуют дополнительно, чтобы для любого выполнялось равенство . М. с этим свойством наз. унитарным, или унитальным.

Аналогично определяются правые A-модули; при этом аксиома 3) заменяется условием Любой правый А-модуль можно рассматривать как левый -модуль над кольцом , антиизоморфным кольцу А, поэтому любому утверждению о правых A-модулях соответствует нек-рое утверждение о левых -модулях и наоборот. В случае, когда кольцо Акоммутативно, любой левый A-модулъ можно рассматривать как правый A-модуль, и различие между левыми и правыми М. исчезает. Ниже будут рассматриваться только левые A-модули.

Простейшие примеры М. (конечные абелевы группы, т. <е. -модули) появляются уже у К. Гаусса (C.Gauss) как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие М. встречается впервые в 60-80-х гг. 19 в. в работах Р. Дедекинда (R. Dedekind) и Л. Кронекера (L. Kronecker), посвященных арифметике полей алгебраич. чисел и алгебраич. функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, В. Peirce, Ф. Фробениус, F. Frobenius), привело к изучению идеалов нек-рых некоммутативных колец. Первоначально теория М. развивалась преимущественно как теория идеалов нек-рого кольца. Лишь позднее в работах Э. Нётер (Е. Noether) и В. Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных М., а не только идеалов. Последующее развитие теории М. связано с применением методов и идей теории категорий, в частности методов гомологич. алгебры.

Примеры модулей. 1) Любая абелева группа Мявляется М. над кольцом целых чисел . Для и произведение am определяется как результат сложения т а раз.

2) В случае, когда А- поле, понятие унитарного A-модуля в точности эквивалентно понятию линейного векторного пространства над А.

3) Координатное n-мерное векторное пространство V над полем Кможно рассматривать как М. над кольцом всех -матриц с коэффициентами из К. Для и произведение определяется как умножение матрицы Xна столбец координат вектора .

4) Ассоциативное кольцо Аявляется левым Л-мо-дулем. Умножение элементов кольца на элементы М. совпадает с обычным умножением в Л.

5) Дифференциальные формы на гладком многообразии Xснабжены естественной структурой М. над кольцом всех гладких функций на X.

6) С любой абелевой труппой Мсвязано ассоциативное кольцо с единицей End (M)всех эндоморфизмов группы М. Группа Мснабжена естественной структурой End (M)-модуля.

Если на Мзадана структура A-модуля для нек-рого кольца A. то отображение является эндоморфизмом Мдля любого . Сопоставляя элементу порождаемый им эндоморфизм М, получают гомоморфизм кольца в . Наоборот, любой гомоморфизм определяет на Мструктуру A-модуля. Таким образом, задание структуры A-модуля на абелевой группе Мравносильно заданию гомоморфизма . Такой гомоморфизм наз. также представлением кольца A, а Мназ. модулем представления. С любым представлением связан двусторонний идеал , состоящий из элементов таких, что am=0 для всех . Этот идеал наз. аннулятором модуля М. В случае, когда представление наз. точным,- точным модулем.

Очевидно, что модуль Мможно рассматривать также как М. над факторкольцом . В частности, хотя определение М. и не предполагает ассоциативности кольца A, кольцо всегда ассоциативно. Поэтому в большинстве случаев достаточно ограничиться рассмотрением М. над ассоциативными кольцами. Ниже, везде, где не оговорено противное, кольцо A будет предполагаться ассоциативным.

G-модули. Пусть G- нек-рая группа. Аддитивная абелева группа Мназ. левым G-модулем, если задано отображение , значение к-рого на паре , где , записывается как gm, причем для любого отображение является эндоморфизмом группы М, для любых , , и для всех где 1 - единица группы G. Для любого отображение является автоморфизмом группы М.

Аналогично можно определить правые G-модули. При любой правый G-модуль будет левым G-модулем.

Примеры G - модулей. 1) Пусть К- расширение Галуа нек-рого поля кс группой Галуа G. Тогда аддитивная и мультипликативная группы поля Кснабжены естественной структурой G-модуля. Если к- поле алгебраич. чисел, то G-модулями также являются аддитивная группа кольца целых чисел поля K, группа единиц поля К, группа дивизоров и группа классов дивизоров поля К, и т. д. М. над группой Галуа наз. также модулями Галуа.

2) Пусть задано нек-рое расширение абелевой группы М, т. е. точная последовательность групп

где М- абелев нормальный делитель группы Fи G - произвольная группа. Тогда группу Мможно снабдить естественной структурой G-модуля, положив для где - нек-рый прообраз элемента gв группе F.

В тех случаях, когда групповая операция в абелевой группе Мзаписывается мультипликативно (напр., М- мультипликативная группа нек-рого поля), вместо записи gm используют также запись mg, т. е. операторы из группы G записывают как показатели.

Пусть задан G-модуль М. Сопоставляя элементу автоморфизм группы М, получают гомоморфизм группы в группу обратимых элементов кольца . Наоборот, любой гомоморфизм группы G в группу обратимых элементов кольца End (М) задает на Мструктуру G-модуля.

Понятия М. над кольцом и G-модуля тесно связаны. Именно, любой G-модуль Мможно рассматривать как М. над групповым кольцом , если распространить действие группы на по линейности, т. е. положить

где Наоборот, если на Мзадана структура унитарного G-модуля, то Мможно рассматривать как G-модуль.

В случае, когда Мявляется K-модулем над нек-рым коммутативным кольцом Ки одновременно G-модулем, причем действие элементов группы G на Мперестановочно с действием элементов К, М можно снабдить структурой KG -модуля, распространяя действие с Gна KG по линейности. Напр., если V- линейное векторное пространство над полем К, то задание структуры KG -модуля на Vэквивалентно заданию представления Gв пространстве V.

Используя стандартную инволюцию в группе G, любой левый G-модуль Мможно превратить в правый G-модуль, положив Аналогично, любой правый G-модуль можно превратить в левый G-модуль.

Модуль над алгеброй Ли. Пусть - алгебра Ли над коммутативным кольцом Ки М- нек-рый K-мо-дуль. Задание структуры -модуля на Мсостоит в задании K-эндоморфизма группы Мдля каждого , причем требуется выполнение аксиомы

для любых . Это определение отличается от данного ранее определения A-модуля. Задание на Мструктуры -модуля равносильно заданию K-гомоморфизма в алгебру Ли кольца End (М). Модуль Мнад алгеброй Ли можно рассматривать также как М. в обычном смысле над универсальной обертывающей алгеброй алгебры

Конструкции в теории модулей. Исходя из заданных A-модулей, можно получать новые А-модули при помощи ряда стандартных построений. Так, с любым модулем Мсвязана решетка всех его подмодулей. Напр., если кольцо A рассматривать как левый М. над собой, то его левые подмодули - это в точности левые идеалы кольца А. Ряд важных типов М. определяется в терминах решетки подмодулей. Напр., условие обрыва убывающих (возрастающих) цепей подмодулей определяет артиновы модули( нётеровы модули). Условие отсутствия нетривиальных подмодулей, т. е. подмодулей, отличных от 0 и всего М., выделяет неприводимые модули.

Для модуля Ми любого его подмодуля Nфакторгруппу M/N можно снабдить структурой A-модуля. Этот модуль наз. фактормодулем Мпо N.

Гомоморфизм A-модулей определяется как гомоморфизм абелевых групп , перестановочный с умножением на элементы кольца А, т. <е. удовлетворяющий условию для всех Если заданы два гомоморфизма , то их сумма, определяемая формулой , снова будет гомоморфизмом А-модулей. Это сложение задает на множестве всех гомоморфизмов модуля Мв Nстроение абелевой группы. Для любого гомоморфизма определены подмодули и , а также фактормодули (коядро f) и (кообраз f). М. Imf и Coim f канонически изоморфны, поэтому их обычно отождествляют. Напр., для любого левого идеала f кольца Аопределен фактормодуль A/J. М. A/J неприводим тогда и только тогда, когда J - максимальный левый идеал. Если М- иек-рый неприводимый A-модуль, не аннулируемый кольцом А, то Мизоморфен М. A/J для нек-рого максимального левого идеала J.

Для любого семейства , где пробегает нек-рое множество индексов J, в категории A-модулей существуют прямая сумма и прямое произведение семейства . При этом элементы прямого произведения можно интерпретировать как векторы , компоненты к-рых заиндексированы множеством J, причем для каждого индекса . Сложение таких векторов и умножение их на элементы кольца определяются покомпонентно. Прямую сумму семейства можно интерпретировать как подмодуль прямого произведения, состоящий из векторов, у к-рых все компоненты, кроме конечного числа, равны нулю.

Для проективной (индуктивной) системы A-модулей проективный (индуктивный) предел этой системы можно естественным образом снабдить структурой A-модуля. Прямое произведение и прямая сумма М. могут рассматриваться как частные случаи понятий проективного и индуктивного пределов.

Образующие и соотношения. Пусть X - нек-рое подмножество A-модуля М. Подмодулем, по рожденным множеством X, наз. пересечение всех подмодулей модуля М, содержащих X. Если этот подмодуль совпадает с М, то Xназ. семейством (или системой) образующих модуля М. М., допускающий конечное семейство образующих, наз. конечно порожденным модулем. Напр., в нётеровом кольце любой идеал является конечно порожденным М., прямая сумма конечного числа конечно порожденных М. снова конечно порождена. Любой фактормодуль конечно порожденного М. также конечно порожден. Для построения системы образующих модуля Мчасто оказывается полезной лемма Накаямы: для любого идеала , содержащегося в радикале кольца А, из условия следует М=0. В частности, в условиях леммы Накаямы элементы являются системой образующих для М, если их образы порождают модуль Это соображение особенно часто используется в случае, когда A - локальное кольцо и - максимальный идеал в A.

Пусть М- модуль с системой образующих Тогда отображение определяет эпиморфизм свободного A-модуля Fс образующими на М(М. Fможно определить как множество формальных конечных сумм отображение распространяется с образующих на элементы М. Fпо линейности). Элементы М. наз. соотношениями между образующими модуля М. Если модуль Мможно представить как фактормодуль конечно порожденного свободного М. Fтак, чтобы М. соотношений Rтакже был конечно порожден, что Мназ. конечно представимым модулем. Напр., над нётеровым кольцом A любой конечно порожденный М. конечно представим. В общем случае конечная представимость не следует из конечной порожденности.

Замена кольца. Существуют стандартные конструкции, позволяющие рассматривать A-модуль Мкак М. над нек-рым другим кольцом. Напр., пусть задан гомоморфизм колец . Тогда, полагая , можно рассматривать Мкак В-модуль.

Если модуль М- унитарный A-модуль, и гомоморфизм j переводит единицу в единицу, то Мстанет унитарным B-модулем.

Пусть задан нек-рый гомоморфизм колец и A-модуль М. Тогда Вможно снабдить структурой ( В, A )-модуля, полагая для и можно рассмотреть левый B-модуль . Говорят, что этот М. получен из M расширением скаляров.

Категория модулей. Класс всех М. над заданным кольцом Ас гомоморфизмами М. в качестве морфиз-мов образует абелеву категорию, обозначаемую Из функторов, определенных на этой категории, наиболее важны функторы Нот (гомоморфизмы) и (тензорное произведение). Функтор Ноm принимает значения в категории абелевых групп и сопоставляет паре A-модулей М, N, группу . Для очевидным образом определяются отображения

и

т. е. функтор Ноm контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. В случае, когда Мили N несет структуру бимодуля, группа обладает дополнительной модульной структурой. Если Nесть (А, B)-модуль, то - правый B-модуль, а если Месть ( А, В )-бимодуль, то - левый В-модуль.

Функтор ставит в соответствие паре М, N, где М - правый A-модуль, a N - левый A-модуль, тензорное произведение модулей Ми Nнад кольцом А. Этот функтор принимает значения в категории абелевых групп и ковариантен как по М, так и по N. В случае, когда Мили N- бимодули, группу можно снабдить дополнительной структурой. Именно, если Месть (В, A)-модуль, то есть В-модуль, а если Nесть ( А, В )-бимодуль, то - правый В-модуль. Изучение функторов Ноm и , а также их производных функторов является одной из основных задач гомологич. алгебры.

Многие важные типы М. характеризуются в терминах функторов Ноm и . Так, проективный модуль М определяется требованием, чтобы функтор (от X)был точным. Аналогично, инъективный модуль N определяется требованием точности (от X). Плоский модуль М определяется требованием точности функтора

М. над данным кольцом Аможно рассматривать с двух точек зрения.

1) Можно изучать М. с точки зрения их внутренней структуры. Основной задачей здесь является полная классификация М., т. е. построение для каждого М. системы инвариантов, характеризующей этот М. с точностью до изоморфизма, и умение по заданному набору инвариантов строить М. с этими инвариантами. Для нек-рых типов колец такое описание возможно. Напр., если М- конечно порожденный М. над групповым кольцом KG конечной группы G, где К- нек-рое поле, характеристика к-рого взаимно проста с порядком G, то Мпредставим в виде конечной прямой суммы неприводимых подмодулей (модуль Мвполне приводим). Это представление определено однозначно с точностью до изоморфизма (сами неприводимые подмодули в общем случае не определяются однозначно). Все неприводимые подмодули также допускают простое описание: все они содержатся в регулярном представлении группы Gи находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми характерами этой группы. Также простое описание допускают М. над кольцом главных идеалов и над дедекиндовым кольцом. Именно, любой конечно порожденный модуль Мнад кольцом главных идеалов Аизоморфен конечной прямой сумме М. вида , где - нек-рые идеалы кольца А(возможно, нулевые), причем и идеалы однозначно определяются последним условием. Таким образом, набор инвариантов полностью определяет модуль М. Если М- конечно порожденный М. над дедекиндовым кольцом А, то где - периодич. М., а М ₂- М. без кручения (выбор модуля не однозначен). Модуль аннулируется нек-рым идеалом кольца Аи, следовательно, является М. над кольцом главных идеалов и допускает описание, указанное выше, а модуль представим в виде - нек-рый идеал А, а - прямая сумма праз. Модуль М ₁ с точностью до изоморфизма однозначно определяется двумя инвариантами: числом пи классом идеала в группе классов идеалов.

2) Другой подход к изучению М. состоит в изучении категории A = mod и данного модуля Мкак объекта этой категории. Такое изучение является предметом гомологич. алгебры и алгебраич. K-теории. На этом пути было получено много важных и глубоких результатов.

Часто рассматривают М., несущие нек-рую дополнительную структуру. Так рассматриваются градуированные модули, фильтрованные модули, топологические модули, модули с полуторалинейной формой и т. д.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] его же, Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3] его же, Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [4] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] Ван дер Варден Б. Л-, Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [6] Кострикин А. И., Введение в алгебру, М., 1977; [7] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [8] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [9] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79; [10] Картан А., Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [11] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М., 1966; [12] Басе X., Алгебраическая K-теория, пер. с англ., М., 1973; [13] Милнор Дж., Введение в алгебраическую К-теорию, пер. с англ., М., 1974.

Л. В. Кузьмин.