МОДУЛЬ АВТОМОРФИЗМА

- действительное положительное число, ставящееся в соответствие автоморфизму локально компактной группы. Если G- такая группа и - нек-рый автоморфизм группы Gкак топологич. группы, то модуль автоморфизма определяется формулой

где - левоинвариантная мера Хаара на группе Gи - любое компактное подмножество группы Gположительной меры (причем не зависит от S). Если G компактна или дискретна, то всегда = , т. к. для компактной группы можно положить , а для дискретной , где - любой элемент G.

Если и - два автоморфизма группы G, то

Если Г - нек-рая топологич. группа, к-рая непрерывно действует на группу Gавтоморфизмами, то определяет непрерывный гомоморфизм где - мультипликативная группа действительных положительных чисел. В частности, сопоставляя каждому элементу порождаемый им внутренний автоморфизм группы G и рассматривая модуль этого автоморфизма, получают непрерывный гомоморфизм Gв группу . Этот гомоморфизм тривиален тогда и только тогда, когда левоинвариантная мера Хаара на группе Gявляется одновременно и правоинвариантной. Группы, удовлетворяющие последнему условию, наз. унимодулярными.

Другой пример - локально компактное тело К, каждый ненулевой элемент к-рого определяет автоморфизм умножения на аддитивной группы тела К. Функция используется при изучении структуры локально компактных тел.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления, пер. с франц., М., 1970; [2] Вейль А., Интегрирование в топологических группах и его применения, пер. с франц., М., 1950; [3] его же, Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972.

Л. В. Кузьмин.