- МАРТИНА ГРАНИЦА
в теории марковских процессов - граница фазового пространства марковского процесса или его образа в нек-ром компакте, строящемся по схеме, подобной схеме Мартина (см. [1]).
Впервые вероятностное истолкование конструкции Мартина было предложено Дж. Дубом (см. [4]), рассмотревшим случай дискретных цепей Маркова.
Пусть Р(t, х, В) - переходная функция однородного марковского процесса
заданного в сепарабельном локально компактном пространстве Е, где
а
- семейство борелевских множеств в Е. Функция
определенная для
и являющаяся
измеримой при фиксированном a, наз. функцией Грина, если для каждого
где т - нек-рая мера на
Чтобы избежать неоднозначности в определении функции Грина, в нем дополнительно требуют, напр., чтобы при любом выборе непрерывной функции f(x).с компактным носителем функция
была
-непрерывной (последнее означает существование непрерывной слева по tфункции F(t, w) такой, что
Фиксируя меру g на
и постулируя наличие функции Грина, определяют ядро Мартина
где
(при этом приходится ввести нек-рые ограничения, обеспечивающие, в частности, положительность и
-непрерывность q(у)). Если g - единичная мера, сосредоточенная в нек-рой точке, а X - винеровский процесс, обрываемый в момент первого выхода из нек-рой области, то определение
сводится к своему аналогу из [1]. При широких условиях устанавливается существование компакта
("компакта Мартина"), мер
на
и отображения
~ для к-рых a) i(E).плотно в
; б) функции
разделяют точки и непрерывны в
если f пробегает совокупность непрерывных в Ефункций с компактными носителями, и в) мера
совпадает с
если
Граница множества i(E).в
наз. Мартина границей или границей-выходом (при изучении разложений эксцессивных мер возникает двойственный объект - граница-вход, см. [3], 14]).
Для описания свойств компакта
удобно привлечь h-процессы в смысле Дуба: каждой эксцессивной функции h можно соотнести переходную функцию
в
где
соответствующий ей марковский процесс и есть h-процесс. Все h-процессы вместе с Xреализуются на одном и том же пространстве элементарных событий, так что они различаются лишь семействами мер
В
строится модификация xt - непрерывный слева процесс
для к-рого
если
В топологии компакта
предел
существует почти наверное.
Существует множество
("пространство выходов") такое, что, во-первых,
для всех h(x).указанного вида, во-вторых, мера
при
имеет плотность
по мере
причем в качестве
можно взять эксцессивную функцию со спектральной мерой, совпадающей с сосредоточенной в уединичной мерой, и, в-третьих, h(x).допускает единственное интегральное разложение вида
Мера m из этого разложения наз. спектральной мерой функции Л; она дается формулой
где В - борелевское множество в
В теории марковских процессов применяются и компактификации иных типов, особенно такие, в к-рых любая функция вида
допускает непрерывное продолжение для достаточно обширного набора функций f.
Лит.:[1] М а r t i n R. S., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1941, v. 49, p. 137-72; [2] М о t о о М., в кн.: Proceedings of the fifth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, v. 2, pt 2, Berk.-Los Ang., 1967, p. 75-110; [3] К u n i t a H., Watanabe Т., там же, р. 131-64; [4] D о о b J. L., "J. Math. and Mech.", 1959, v. 8, № 3, 433-58; [5] Watanabe Т., "Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser. A", 1960, v. 33, № 1, p. 39- 108; [6] X a H т Д ж. А., "Математика", 1961, т. 5, № 5. с. 121 - 149; [7] X е н н е к е н П. Л., Т о р т р а А., Теория вероятностей и некоторые ее приложения, пер. с франц., М., 1974; [8] К u n i t a H., Watanabe Т., "III. J. Math.", 1965, v. 9, № 3, p. 485-526; [9] Ш у р М. Г., "Тр. Моск. ин-та электронного машиностроения", 1970, в. 5, с. 192-251; [10] Jeulin Т., "Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Gcb.", 1978, Bd 42, № 3, S. 229-60; [11] Д ы н к и н Е. Б., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 4, с. 89 -152. М. <Г. Шур.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.