- ЛЯПУНОВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ
решения линейной системы - верхний предел
где
- решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
здесь
- суммируемое на каждом отрезке отображение 
или 
суммируемое на каждом отрезке отображение 
В координатной записи
где
- суммируемые на каждом отрезке функции, а
(или любая другая эквивалентная норма;
не зависит от выбора нормы в 
или в 
). Теорема Ляпунова. Пусть
эквивалентно:
Тогда для всякого решения
системы (1) Л. х. п. 
- действительное число (т. е. 
).
Для Л. х. п. ненулевых решений системы (1) справедливы утверждения:
3)
существуют линейно независимые решения xi(t), i=1, ..., n, системы (1), обладающие свойством: для всяких плинейно независимых решений 
i=1, ..., п, системы (1), занумерованных в порядке убывания Л. х. п., т. е.
при 
выполняются неравенства
Фундаментальная система решений
обладающих этим свойством, наз. нормальной; при этом:
а) семейство чисел
не зависит от выбора нормальной фундаментальной системы 
б) для всякого решения
системы (1) Л. х. п. 
равен нек-рому 
в)
Числа
наз. Л. х. п. системы (1); число 
наз. часто старшим Л. х. п. системы (1).
Множество всех Л. х. п. ненулевых решений системы (1) наз. ее с п е к т р о м.
Частные с л у ч а и. 1) Система с постоянными коэффициентами (т. е.
). В этом случае 
равны действительным частям собственных значений оператора А(0) (матрицы 
).
2) Система с периодич. коэффициентами (т. е.
). В этом случае
где
- мультипликаторы системы (1), занумерованные в порядке невозрастания их модулей (каждый берется столько раз, какова его кратность).
Роль Л. х. п. в теории устойчивости по Ляпунову основана на следующем утверждении: если
(>0), то решения системы (1) асимптотически устойчивы (соответственно неустойчивы). Из того, что 
не следует, что нулевое решение системы
устойчиво по Ляпунову; однако если дополнительно известно, что система (1) правильная линейная система, то такое заключение справедливо (теорема Ляпунова).
Пусть система x=B(t)xполучена малым возмущением системы (1), удовлетворяющей условию
т. е. расстояние между ними, определяемое формулой
мало. При n>1 отсюда не следует, что величина
мала (следует, если система (1) имеет постоянные или периодич. коэффициенты, а также для нек-рых других систем); иными словами, функционалы
не всюду непрерывны на пространстве систем (1) 
наделенном указанной метрикой (2).
Л. х. п. введены А. М. Ляпуновым, причем не только для решений системы (1), но и для произвольных функций на
(см. [1]).
Лит.:[1] Л я п у н о в А. М., Собр. соч., т. 2, М.-Л., 1956, с. 7-263; [2] Б ы л о в Б. Ф., В и н о г р а д Р. Э., Гробман Д. М., Н е м ы ц к и й В. В., Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966; [3] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 71 -146. В. М. Миллионщиков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
