- КОШИ ОПЕРАТОР
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- зависящий от параметров
оператор
сопоставляющий значению всякого решения x(t).системы (1) в точке
значение этого же решения в точке
Если система (1) линейная, т. е.
где
-суммируемое на каждом отрезке отображение
(или
то К. о. при всяких
есть невырожденное линейное отображение
(соответственно
), удовлетворяющее при всяких
равенствам:
н неравенству
(Для нелинейной системы (1), удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, равенства (3) тоже верны, с должными оговорками относительно областей определения входящих в них операторов.) Общее решение системы
где
- суммируемое на каждом отрезке отображение
записывается через К. о.
системы (2) формулой произвольных постоянных вариации:
Для К. о. системы (2) имеет место Лиувилля-Остроградского формула
где
- след оператора
Производная К. о.
системы (1) в точке
равна К. о. системы уравнений в вариациях вдоль решения x(t).системы (1), равного хпри
(предполагается, что график решения х(t).при всех t, принадлежащих отрезку с концами
содержится в области
такой, что f - непрерывное отображение
имеющее непрерывную в G производную
это - одна из формулировок теоремы о дифференцируем ости решения по начальному значению).
Для линейной системы (2) с постоянными коэффициентами (A(t)=A) К. о. задается формулой
(ехр Вдля линейного оператора Вопределяется как
при другом подходе за определение ехр А можно принять формулу (4), положив в ней
). Из формулы (4) видно, что К. о. зависит только от разности параметров
Это равенство - следствие автономности системы, имеющее место для всякой автономной системы
обозначив для системы (5) К. о.
через
получают из формул (3) следующие формулы:
(см. также Динамическая система, Действие группы). Для линейной системы (2) с периодическими коэффициентами:
при нек-ром T>0 и всех
- выполняется тождество
при всех
_ для такой системы оператор
где
- любое, наз. оператором м о н о д р о м и и. Матрица, задающая оператор
(или, напр., Х( Т,0)) в каком-либо базисе, наз. монодромии матрицей. Все операторы монодромии фиксированной линейной системы с периодическими коэффициентами подобны друг другу:
поэтому спектр оператора монодромии
не зависит от т. Собственные значения оператора монодромии наз. мультипликаторами такой системы, через них выражаются условия устойчивости и условной устойчивости системы (см. Ляпунова характеристический показатель, Устойчивость по Ляпунову, Устойчивости теория). Для систем (2) с периодическими комплексными коэффициентами:
для нек-рого T>0 и всех
- имеет место теорема Ляпунова:
где
при любых
является невырожденным линейным оператором
периодически зависящим от
Иногда К. о. наз. по-другому (напр., "матрицантом"- для линейной системы, или "оператором сдвига по траекториям"). В. М. Миллионщиков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.