ЛЯПУНОВА - ШМИДТА УРАВНЕНИЕ

нелинейное интегральное уравнение вида

где

- неотрицательные целые числа,

- ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства, v и функции К - заданные непрерывные функции своих аргументов и - искомая функция. Сумма, входящая в правую часть равенства (1), может быть конечной или представлять бесконечный ряд. В последнем случае ряд наз. интегро-степенным рядом от двух функциональных аргументов. Предполагается, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Если единица не является характеристич. числом ядра К( х, s), то уравнение (1) при достаточно малом: |v(x)|в классе непрерывных функций имеет единственное малое решение, представимое в виде интегро-степеннрго ряда. Случай, когда единица есть характеристич. число ядра К, является более сложным. В этом случае строится нек-рая система уравнений - уравнение разветвления:

где w_k - известные степенные ряды, n - кратность характеристич. числа 1. Система (2) в общем случае имеет неединственное решение. Какова бы ни была фиксированная достаточно малая функция v, каждому малому непрерывному решению системы (2) (непрерывное решение системы (2) наз. малым, если ) соответствует малое решение уравнения (1), представимое в виде интегро-степенного ряда.

Уравнение типа (1) впервые было рассмотрено А. М. Ляпуновым в 1906, а позднее - в более общем виде - Э. Шмидтом (Е. Schmidt, 1908).

Лит.:[1] В а й н б е р г М. М., Т р е н о г и н В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969; [2] Смирнов Н. С., Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений, Л.- М., 1936. Б. В. Хведелидзе