СИГМА-МОДЕЛИ


СИГМА-МОДЕЛИ
СИГМА-МОДЕЛИ

(8031-22.jpg -модели)- модели теории поля, в к-рых т скалярных полей 8031-23.jpg(i=1, ..., т )могут рассматриваться как задающие отображение 8031-24.jpgd-мерного пространства-времени 8031-25.jpg (произвольной сигнатуры) в нек-рое многообразие М размерности тс метрикой 8031-26.jpg,причём действие имеет вид:
8031-27.jpg

Здесь 8031-28.jpg- безразмерная константа связи, х - точка d-мерного пространства-времени,8031-29.jpg,8031-30.jpg8031-31.jpg (по совпадающим верх. и ниж. индексам предполагается суммирование).

Исторически первая С.-м. возникла как эфф. теория безмассовых возбужденийв следующей задаче. Рассмотрим теорию ( т+ 1)-компонентного поляи с действием
8031-32.jpg

Если потенциал V(n2 )обладает минимумом при n2= 1, то вблизи минимума имеются одно массивное поле, описывающее флуктуациимодуля 8031-33.jpg т безмассовых полей, описывающих флуктуации направления поля ис сохранением величины n2 = 1. Безмассовые поля допускают интерпретациюкак координаты 8031-34.jpg, ..., т )на сфере n2 = 1, и вклад полей 8031-35.jpgв действие (2) даётся ф-лой (1), где 8031-36.jpg- индуциров. метрика на сфере. Первое приложение этой схемы было связанос теорией трёх псевдоскалярных 8031-37.jpg -мезонов, <к-рые отождествлялись с полями 8031-38.jpgв случае m = 3, а роль массивного поля | п| играла т. н.8031-39.jpg -частица, <к-рая и дала назв. модели. Дальнейшее развитие в этом направлении привелок Скирма модели, эффективно описывающей низкоэнергетич. предел квантовойхромодинамики (КХД) и физику адронов.

С.-м. с действием (1) допускает два обобщения. Во-первых, вместо плоскогоd-мерного пространства-времени 8031-40.jpgможно рассматривать искривлённое. При этом в (1) появится метрика (гравитац. <поле)8031-41.jpgи действие приобретёт вид:
8031-42.jpg

8031-43.jpg . Имеетсмысл также рассматривать пространство-время произвольной топологии. Такиетеории лучше всего изучены в случае d =2, они играют значит. рольв совр. теории струн (см. Струн теория). Для струнных приложенийпредставляют также интерес С.-м., в к-рых М не являются многообразиями, <а могут иметь разл. рода сингулярности, при этом действие должно быть доопределенов сингулярных точках. Во-вторых, при нек-рых значениях d (напр.,d=1, 2) можно рассматривать суперсимметричные (см. Суперсимметрия )С.-м.,в к-рых 8031-44.jpgзаменяются на координаты 8031-45.jpg,8031-46.jpgв суперпространстве (8031-47.jpg- нечётная координата), а поля 8031-48.jpg- на суперполя 8031-49.jpg=8031-50.jpg. Здесь 8031-51.jpg- фермионные компоненты суперполей, к-рые можно интерпретировать как касательныевекторы к многообразию М.

Совр. интерес к С.-м. объясняется гл. обр. их прямой связью с геометрией. <Геом. структуры на многообразии М проявляются в физ. свойствах соответствующихС.-м. Напр., если М - однородное многообразие, М = G/H, тоС.-м. (1) может быть альтернативным образом описана как С.-м. на М =G, взаимодействующая с дополнит. калибровочным полем, отвечающимгруппе Н. Это одно из обстоятельств, связывающих С.-м. с теориями Янга- Миллса полей. Другие яркие примеры проявления геометрии . в структуре С.-м. связаны с суперсимметричными С.-м. В случае d= 2 С.-м. обладает расширенной (N = 2)-суперсимметрией, если многообразие . кэлерово, и (N= 4)-суперсимметрией, если М гиперкэлерово(см. Симплектическое многообразие). В случае d =4 суперсимметричныеС.-м. существуют только на кэлеровых многообразиях, а для (N =2)-суперсимметриитребуется гиперкэлерово многообразие. Несколько иные ограничения на геометрию . возникают, если строить суперсимметричную С.-м., взаимодействующуюс супергравитацией[т. е. суперобобщение действия (3)].

С.-м. являются удобным инструментом исследования общих свойств квантовойтеории поля (КТП). Уже при d =1 С.-м. позволяют исследовать проблемуупорядочения операторов. В случае однородных многообразий или суперсимметричныхС.-м. <ставится и исследуется вопрос о совместимости разл. способов упорядочениясо свойствами симметрии теории. Мн. С.-м. при d =2 оказываютсяочень похожими по своим свойствам на 4-мерные теории Янга - Миллса. В частности, <имеются асимптотическая свобода и широкий спектр непертурбативныхявлений, включая спонтанное нарушение симметрии и её восстановление, <инстантонные флуктуации (см. Инстантон), образование конденсатов(в т. ч. фермионных пар в суперсимметричных С.-м.). Это позволяет оцениватьприменимость разл. непертурбативных методов, первоначально развитых дляизучения явления конфайнмента в КХД (инстантонное исчисление, решёточныеи компьютерные вычисления и др.), на другом, значительно более простомпримере двумерной теории.

Выше отмечалось, что С.-м. обычно возникают как эфф. теории безмассовыхполей в более общих нелинейных теориях поля. В важных приложениях эти степенисвободы отвечают коллективным возбуждениям и не входят в число первичныхполей исходной теории. Чаще всего в С.-м. поля описывают квазичастицы, <возникающие при спаривании фермионов. По существу таковы упоминавшиесяя-мезоны (составленные из кварка и антикварка, окружённых глюонным облаком).Др. важные примеры имеются в физике твёрдого тела ( квантовый Холла эффект, модели сверхпроводимости и др.) и в теории элементарных частиц (супергравитацияи др.).

С.-м., описывающие квазичастицы, чаще всего отличаются от моделей сдействием (1) - (3) добавлением аномальных слагаемых, связанных с нетривиальностьюгомотопич. групп 8031-52.jpgи 8031-53.jpg (см. Топология). В первом случае такие слагаемые в действии наз. т о п о л о г и ч ес к и м и, во втором - весс-зуминовскими членами (J. Wess, В. Zumino, 1973).Первые изменяют непертурбативные свойства теории, вторые - проявляютсяи в теории возмущений. Важный пример топологического заряда при d= 2 возникает уже в С.-м. на двумерной сфере, М =S2,заданной условием п 2 =1:
8031-54.jpg

(8031-55.jpg - антисимметрич. <тензор,8031-56.jpg). Выражение под интегралом (с учётом условия n2 = 1) являетсяполной производной,8031-57.jpg (нек-рого тока 8031-58.jpg),и интеграл 8031-59.jpgопределяет весс-зуминовский член в одномерной (d= 1) С.-м. на М = S2. Весс-зуминовскийчлен при d =2 отвечает нетривиальной гомотопич. группе 8031-60.jpg: в случае М= S2 он связан с топологич. характеристикойотображения трёхмерной сферы в двумерную (известной в математике как инвариантХопфа), а в случае М = S3 - с топологическим зарядом, <аналогичным (4).

При d =2 С.-м. является перенормируемой КТП, несмотря на сильнуюнелинейность действия. При этом в зависимости от выбора многообразия . С.-м. <в рамках теории возмущений может быть асимптотически свободной или иметьренормализац. поведение, отвечающее нуль-зарядной ситуации (см. Нуль-заряд). Двумерная С.-м. имеет тождественно нулевую бета-функцию, еслиона обладает (N = 4)-суперсимметрией. Этого же можно добиться введениемвесс-зуминовского или топологического члена с подходящим коэф. без обращенияк супереимметрии и гиперкэлерову многообразию.

Весс-зуминовские члены и топологич. заряды возникают в эффективных С.-м. <как отражение аномалий исходных фермионных теорий. Важную роль вС.-м. играют также их собственные квантовые аномалии. Аномальными могутбыть d-мерная общекоординатная инвариантность в теории с действием (3),калибровочная H -симметрия в случае М = G/H, вейлевская симметрия 8031-61.jpg[где 8031-62.jpg- нек-рое вещественное поле], имеющаяся в теории с действием (3) при .=2.

Двумерные С.-м. с нулевой бета-функцией, являющиеся конформно-инвариантными(см. Конформная инвариантность), играют большую роль в теории струн, <где они описывают всевозможные решения струнных ур-ний движения. В настоящеевремя активно изучается вопрос о классификации всех конформно-инвариантныхтеорий и развиваются общие методы вычислений в конформных С.-м. Наиб. существ. <продвижение в этом направлении достигнуто пока для более узкого класса(N=2)-суперконформных моделей при d = 2, классификация к-рыхблизка к классификации особенностей в катастроф теории.

Лучше всего изучены одномерные С.-м. На совр. этапе исследований осн. <внимание уделяется развитию теории двумерных С.-м., как из-за их относит. <простоты, так и из-за явной связи с теорией Янга - Миллса и теорией струн. <Общая матем. теория таких С.-м. должна включать в себя теорию бесконечномерныхи квантовых Ли алгебр, но она ещё не разработана. Единый подходк изучению многомерных (<2) С.-м. пока отсутствует.

Лит.: Gell-Mann M., Levy M., The axial vector current in b-decay, «NUOVOCim.», 1960, v. 16, p. 705; W i t t e n E., Supersymmetry and Morse theory,«J. Dili. Geom.», 1982, v. 17, p. 661; Perelomov A., Chiral models: geometricalaspects, «Phys. Repts», 1987, v. 146, p. 136. А. Ю. Морозов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "СИГМА-МОДЕЛИ" в других словарях:

  • Сигма-дельта-модуляция — Технологии модуляции  п·Аналоговая модуляция AM · SSB · ЧМ(FM) · ЛЧМ · ФМ(PM) · СКМ Цифровая модуляция АМн …   Википедия

  • Нелинейная сигма-модель — (англ. nonlinear sigma model)  скалярная теория поля, в которой многокомпактное скалярное поле есть отображением пространства времени на Риман …   Википедия

  • Шесть сигма — Шесть сигм (six sigma)  высокотехнологичная методика точной настройки бизнес процессов, применяемая с целью минимизации вероятности возникновения дефектов в операционной деятельности. Название происходит от статистической категории… …   Википедия

  • ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СОЛИТОН — солитон с нетривиальной топологич. характеристикой (типа степени отображения, инварианта Хопфа и т …   Физическая энциклопедия

  • СУПЕРГРАВИТАЦИЯ — калибровочная теория суперсимметрии. Представляет собой суперсимметричное обобщение общей теории относительности (теории тяготения). Расширенная теория С. обладает симметрией, в принципе позволяющей объединить все известные виды вз ствий гравитац …   Физическая энциклопедия

  • СУПЕРПРОСТРАНСТВО — расширенное пространство в теории суперсимметрии, к рое кроме обычных пространственно временных координат включает также спинорные координаты. Спинорные переменные qa антикоммутируют друг с другом и коммутируют с координатами пространства времени …   Физическая энциклопедия

  • Скирмион — Скирмион  математическая модель, применяемая для моделирования барионов. Автор Тони Скайрми.[1] Содержание …   Википедия

  • ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ — квантовомеханич. или квантовополевые теории, все корреляционные функции в к рых не зависят от выбора координат и метрики как в пространстве времени, так и в др. пространствах, участвующих в определении теории. Это позволяет использовать… …   Физическая энциклопедия

  • Старение (биология) — У этого термина существуют и другие значения, см. Старение. Старая женщина. Анн Поудер 8 апреля 1917 года в свой 110 й день рождения. Сморщенная и сухая кожа  типичный признак старения человека …   Википедия

  • Freelancer — Разработчик Digital Anvil Издатель Microsoft Локализ …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.