КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННАЯ ГРУППА
- КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННАЯ ГРУППА
- группа G, обладающая конечным порождающим множеством М= {а 1,.... ad}. Состоит из всевозможных произведений 
где 
Если Мсодержит dэлементов, то Gназ. d-n орожденной. Из любого порождающего множества К. п. г. можно выбрать конечное порождающее множество. 1-порожденные группы наз. циклическими (они исчерпываются с точностью до изоморфизма группой Z целых чисел относительно сложения и группами Z п классов вычетов по данному модулю потносительно сложения, n=1, 2, . . .).
Множество всех неизоморфных 2-порожденных групп имеет мощность континуума. Всякая счетная группа изоморфно вкладывается в нек-рую 2-порожденную группу; можно считать при этом, что последняя проста, а ее порождающие элементы имеют порядки 2 и 3. Всякая счетная п-ступенно разрешимая группа изоморфно вкладывается в 2-порожденную (n+2)-ступенно разрешимую группу. Подгруппа конечного индекса в К. п. г. сама является К. п. г. Во всякой К. п. г. имеется лишь конечное число подгрупп данного конечного индекса. К. п. г. может быть бесконечной периодической; более того, для всякого натурального числа 
и всякого нечетного числа 
существует бесконечная d-порожденная группа периода п(см. Бёрнсайда проблема). К. п. г. может быть нехопфовой, т. е. изоморфной своей истинной факторгруппе; более того, существуют разрешимые нехопфовы К. п. г. Если К. п. г. финитно аппроксимируема (см. Финитно аппроксимируемая группа), то она хопфова. Всякая К. п. г. матриц над полем финитно аппроксимируема. Существуют бесконечные К. п. г., и даже конечно определенные группы, являющиеся простыми.
Лит.: [1] Каргаполов М. И..Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, 2 изд., М., 1977.
Ю. И. Мерзляков.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННАЯ ГРУППА" в других словарях:
ГРУППА С ОДНОЗНАЧНЫМ ИЗВЛЕЧЕНИЕМ КОРНЯ — R группа группа, у к рой из равенства следует , где х, у любые элементы группы, п любое натуральное число. Группа Gтогда и только тогда является R группой, когда она без кручения и такова, что нз следует для любых п натурального числа п. R группа … Математическая энциклопедия
НИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА — группа, обладающая нормальным рядом таким, что каждый его фактор лежит в центре факторгруппы (такой ряд наз. центральным). Длина наиболее короткого центрального ряда Н. г. наз. ее классом (или ступенью) нильпотентности. В любой Н. г. нижний (а… … Математическая энциклопедия
ХОПФОВА ГРУППА — группа, не изоморфная никакой своей истинной факторгруппе. Название дано в честь X. Хопфа (Н. Норf), поставившего в 1932 вопрос о существовании конечно порожденных групп, не обладающих таким свойством. Известны примеры нехопфовых групп, в том… … Математическая энциклопедия
ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНАЯ ГРУППА — группа, в к рой каждая конечно порожденная подгруппа конечна. Любая Л. к. г. периодич. группа, но не наоборот (см. Бёрнсайда проблема). Расширение Л. к. г. с помощью Л. к. г. будет снова Л. к. г. Всякая Л. к. г. с условием минимальности для… … Математическая энциклопедия
ЛОКАЛЬНО НИЛЬПОТЕНТНАЯ ГРУППА — группа, каждая конечно порожденная подгруппа к рой нильпотентна (см. Нильпотентная группа). В Л. н. г. все элементы конечного порядка образуют нормальную подгруппу, являющуюся периодич. частью этой группы. Эта подгруппа разлагается в прямое… … Математическая энциклопедия
ЛОКАЛЬНО РАЗРЕШИМАЯ ГРУППА — группа, в к рой каждая конечно порожденная подгруппа разрешима (см. Разрешимая группа). Класс Л. р. г. замкнут относительно взятия подгрупп и гомоморфных образов, но не замкнут относительно расширений. Периодическая Л. р. г. локально конечна. Лит … Математическая энциклопедия
ЛОКАЛЬНО СВОБОДНАЯ ГРУППА — группа, каждая конечно порожденная подгруппа к рой свободна (см. Свободная группа). Таким образом, счетная Л. с. г. является объединением возрастающей цепи свободных подгрупп. Говорят, что Л. с. г. имеет конечный ранг п, если всякое ее конечное… … Математическая энциклопедия
ФУКСОВА ГРУППА — дискретная группа голоморфных преобразований (открытого) круга Кна сфере Римана, т. е. круга или полуплоскости на комплексной плоскости. Чаще всего в качестве Кберут верхнюю полуплоскость или единичный круг В первом случае элементы Ф. г. являются … Математическая энциклопедия
ХАРАКТЕРОВ ГРУППА — группы G группа всех характеров X(G) =Hom(G, А )группы Gсо значениями в абелевой группе Аотносительно операции индуцированной операцией в А. В случае когда А = Т, где квазициклические группы, взятые по одной для каждого простого числа р. Эта… … Математическая энциклопедия
АБЕЛЕВА ГРУППА — разрешимости алгебраич. уравнений в радикалах. Обычно для обозначения операции в А. г. используется аддитивная запись, т. е. знак + для самой операции, наз. сложением, знак 0 для нейтрального элемента, наз. нулем (в мультипликативной записи он… … Математическая энциклопедия
