КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ГРУППЫ ЛИ
- КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ГРУППЫ ЛИ
G над R - комплексная группа Ли G С, содержащая Gв качестве вещественной подгруппы Ли и такая, что алгебра Ли 
группы Gявляется вещественной формой алгебры Ли 
группы 
(см. Комплексификация ал гебра Ли). Группа Gпри этом наз. вещественной формой группы Ли G С. Напр., группа U(п)всех унитарных матриц порядка пявляется вещественной формой группы GL ( п, С) всех невырожденных матриц порядка пс комплексными элементами.
Имеется взаимно однозначное соответствие между комплексно аналитическими линейными представлениями связной односвязной комплексной группы Ли 
и вещественно аналитич. редставлениями ее связной вещественной формы G, при к-ром неприводимым представлениям соответствуют неприводимые. Это соответствие устанавливается следующим образом: если р - (неприводимое) конечномерное комплексно аналитическое представление группы GC, то ограничение р на Gявляется (неприводимым) вещественно аналитич. редставлением группы G.
Не всякая вещественная группа Ли обладает комплексификацией. В частности, связная полупростая группа Ли Gобладает комплексификацией тогда и только тогда, когда Gлинейна, т. е. изоморфна подгруппе некоторой группы GL(n, С). Например, универсальная накрывающая группы вещественных матриц второго порядка с определителем 1 не имеет комплексификации. Однако всякая компактная группа Ли комплексификацией обладает.
Отсутствие комплексификации у нек-рых вещественных групп Ли инспирировало введение более общего понятия - универсальной комплексификации 
вещественной группы Ли G. Здесь 
- комплексная группа Ли, т :
- вещественно аналитич. омоморфизм такой, что для любой комплексной группы Ли Hи любого вещественно аналитич. омоморфизма 
существует единственный комплексно аналитич. омоморфизм 
для к-рого 
Универсальная К. г. Ли всегда существует и определена однозначно [3]. Однозначность означает, что если 
- другая универсальная К. г. Ли G, то существует единственный изоморфизм 
для к-рого 
В общем случае 
если же Gодносвязна, то 
=
и ядро гомоморфизма т дискретно.
См. также Форма группы Ли.
Лит.:[1] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [2] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [3] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.
В. Л. Попов.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
И. М. Виноградов.
1977—1985.
Полезное
Смотреть что такое "КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ ГРУППЫ ЛИ" в других словарях:
КОМПЛЕКСИФИКАЦИЯ АЛГЕБРЫ ЛИ — над R комплексная алгебра Ли являющаяся тен зорным произведением алгебры на поле комплексных чисел С над полем действительных чисел R: Таким образом, К. а. Ли получается из расширением поля скаляров с R до С. Элементами алгебры можно считать пары … Математическая энциклопедия
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМПАКТНОЙ ГРУППЫ — гомоморфизм компактной группы в группу непрорывных линейных автоморфизмов (комплексного) банахова пространства, непрерывный в сильной операторной топологии. Пусть G компактная группа, V банахово пространство и представление. Если V=H гильбертово… … Математическая энциклопедия
ЛИ КОМПАКТНАЯ ГРУППА — компактная группа, являющаяся конечномерной вещественной группой Ли. Ли к. г. могут быть охарактеризованы как конечномерные локально связные компактные топологич. группы. Если G0 связная компонента единицы Ли к. г. С, то группа связных компонент… … Математическая энциклопедия
ВЕЙЛЯ ГРУППА — 1) В. г. симметрий корневой системы. В зависимости от конкретной реализации корневой системы рассматривают п различные В. г.; так возникают В. г. полупростой расщепляемой алгебры Ли, В. г. симметрич. пространства, В. г. алгебраич. группы. Пусть… … Математическая энциклопедия
ФОРМА — алгебраической группы G, определенной над полем k, алгебраич. группа G , определенная над . и изоморфная группе Gнад нек рым расширением . ноля k. В этом случае G наз. L/k формой алгебраич. группы G. Если ks сепарабельное замыкание поля . в… … Математическая энциклопедия
РЕДУКТИВНАЯ ГРУППА — линейная алгебраич. группа G, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий: 1) радикал связной компоненты единицы G0 группы G есть алгебраический тор, 2).унипотентный радикал группы G0 тривиален, 3) группа G0 разлагается в… … Математическая энциклопедия
РАЗЛОЖИМАЯ ГРУППА — над полем k, расщепи мая группа над k, k pазложимая группа, линейная алгебраич. группа, определенная над kи содержащая разложимую над k Бореля подгруппу;. при этом связная разрешимая линейная алгебраич. группа Вназ. разложимой над А, если она… … Математическая энциклопедия
БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — группы Ли представление группы Ли в бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений групп Ли есть часть общей теории, представлений то пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет использовать в этой теории средства анализа (в… … Математическая энциклопедия
ОРБИТ МЕТОД — метод изучения унитарных представлений групп Ли. С помощью О. м. была построена теория унитарных представлений нильпотентных групп Ли, а также указана возможность его применения к другим группам [1]. О. м. основан на следующем экспериментальном… … Математическая энциклопедия
КОС ТЕОРИЯ — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы, составленные из их классов эквивалентности, и различные обобщения этих групп [1]. Коса из пнитей объект, состоящий из двух параллельных плоскостей Р 0 и Р 1 в трехмерном пространстве R3,… … Математическая энциклопедия
