КЛЕЙНОВА ГРУППА

- дискретная подгруппа Г группы всех дробно-линейных отображений

расширенной комплексной плоскости С, являющаяся собственно разрывной. Это означает, что множество L(Г) точек накопления орбит {y(z₀)},. для всех точек называемое предельным множеством группы Г, есть собственное подмножество С. Дополнение называемое множеством разрывности группы Г, открыто и обладает тем свойством, что каждая его точка zимеет окрестность U_z, для к-рой при всех где - стабилизатор точки z в Г. Если точка отлична от неподвижных точек эллиптич. элементов Г, то Г _z= {J}, где J - тождественное отображение, а для каждой эллиптической неподвижной точки Г _z - циклическая группа конечного порядка. Основы теории К. г. были заложены в фундаментальных работах А. Пуанкаре [1] и Ф. Клейна [2] еще в 19 в., название "К. г." восходит к А. Пуанкаре.

Предельное множество либо пусто, либо состоит из одной или двух точек, либо бесконечно. Первые два случая соответствуют элементарным группам (сюда, в частности, входят все циклич. группы). Если бесконечно, то оно есть нигде не плотное в совершенное множество положительной логарифмич. емкости. Часто элементарные группы не включают в К. г.

Факторпространство имеет естественную комплексную (конформную) структуру, в к-рой проекция голоморфна, и представляет собой конечное или счетное объединение U_jS_j римановых поверхностей S_j;это накрытие будет разветвленным над проекциями точек с нетривиальными стабилизаторами Г _z.

Само W(Г) распадается на компоненты связности W_j, число к-рых равно 1,2 или с". Если подгруппа

совпадает с Г, то компонента W_j наз. инвариантной. Инвариантных компонент может быть не больше двух. К. г. с инвариантными компонентами получили название функциональных.

Примеры. 1) Фуксовы группы. Каждая такая группа оставляет инвариантной нек-рую окружность (прямую) lс сохранением направления обхода, и Для того чтобы (неэлементарная) К. г. Г была фуксовой, необходимо и достаточно, чтобы она не содержала локсодромических элементов. По теореме Клейна - Пуанкаре об униформизации всякая риманова поверхность, за исключением нескольких простейших случаев, униформизируется фуксовой группой, действующей, напр., в верхней полуплоскости т. е. с точностью до конформной эквивалентности представляется в виде H/Г. Если в Иввести гиперболич. метрику Пуанкаре

то элементы Г становятся неевклидовыми (гиперболическими) движениями. А. Пуанкаре предложил подобную интерпретацию и для произвольной К. г. Г, основанную на продолжении действия Г в полупространство

Именно, поскольку всякий элемент Г есть суперпозиция четного числа инверсий относительно окружностей можно рассмотреть инверсии относительно соответствующих полусфер в опирающихся на L. Продолженная таким образом группа Г действует в разрывно, а ее элементы становятся гиперболич. движениями

2)Квазифуксовы группы. Они служат непосредственным обобщением фуксовых групп. Квазифуксовой наз. К. г. Г, оставляющая инвариантной нек-рую ориентированную жорданову кривую Тогда Если то Г наз. группой первого рода, а при - второго рода. Римановы поверхности D₁/F и DJT, где D₁- внутренность, a D₂- внешность Z, гомеоморфны; более того, напр., любые две гомеоморфные римановы поверхности конечного типа (т. е. замкнутые поверхности о конечным числом проколов) могут быть униформизированы одной квазифуксовой группой. Конечно порожденные квазпфуксовы группы сводятся к фуксовым (сопрягаются с ними) с помощью квазиконформных автоморфизмов плоскости.

3) Группы Шотки. Каждая такая группа есть К. г. Г с образующими g₁,. . ., g _р,для к-рых существуют 2р непересекающихся жордановых кривых ограничивающих 2р-связную область Dтакую, что

При этом Г свободна, W(F)/F - замкнутая поверхность рода р, а все элементы - гиперболические или локсодромические. Группами Шотки униформизируются все замкнутые римановы поверхности (это - униформизация по Кёбе).

4) Вырожденные группы. Это - неэлементарные конечно порожденные К. г., у к-рых множества разрывности являются односвязными областями. Имеется весьма сложное доказательство существования таких групп, однако явных их примеров пока (1978) не построено. Вырожденные группы являются частным случаем групп с одной инвариантной односвязной компонентой, называемых b-группами.

В основе геометрич. подхода к исследованию К. г. лежит понятие фундаментальной области, т. е. множества содержащего по одной точке из каждой орбиты Гz₀,и такого, что каждая непустая его компонента связна. Напр., для групп Шотки в качестве со можно взять указанную область D, присоединив к ней точки кривых l₁,..., l _р. Часто фундаментальной областью наз. только внутренность w. Для любой К. г. можно выбрать каноническую фундаментальную область, ограниченную дугами окружностей. Свойства фундаментальной области позволяют выяснить структуру К. г. Г. Одним из методов построения К. г. служат так наз. комбинационные теоремы, дающие условия, когда группа Г, порожденная данными К. г., снова является К. г. Напр., если взять фуксовы группы Г ₁,..., Г _n, действующие соответственно в кругах U₁,..., U_n, достаточно удаленных друг от друга, и представляющие компактные поверхности U_j/Г _j соответственно родов р _j, то Г= (Г ₁,. . ., Г _n) - функциональная группа, представляющая n+1 поверхностей родов р ₁, ..., р _п и р ₁+.. .+р _п. Весьма полезными оказались методы трехмерной топологии, связанные с рассмотрением 3-многообразия у к-рого W(F)/F служит краем.

Аналитический подход в теории К. г. связан с рассмотрением автоморфных форм. Если Г - неэлементарная К. г. и то при целых сходится ряд (в точках с Г _z={J}); соответствующие тета-ряды Пуанкаре

где f - мероморфная функция в W(Г), дают автоморфные формы веса (-2q). Для конечно порожденных К. г. размерность пространств таких форм подсчитывается с помощью Римана- Роха теоремы. Геометрич. структура таких групп Г описывается теоремой Альфорса, согласно к-рой пространство W(Г)/Г для них состоит из конечного числа поверхностей S₁, ..., S_n конечного типа, а p^-1 может быть разветвлено над каждой S_j лишь в конечном числе точек. Этот результат допускает количественные уточнения. Используются и когомологич. методы, основанные на рассмотрении действия группы Г в векторных пространствах полиномов (см. [5]). Существенную роль в теории К. г. на плоскости играют методы теории квазиконформных отображений [6], [7]. На них опирается, в частности, теория деформаций К. г., тесно связанная с теорией модулей римановых поверхностей (см. также Римановых поверхностей конформные классы). На этом пути были выявлены и нек-рые новые классы К. г. Однако пока еще не получено полной классификации даже конечно порожденных К. г.

По сравнению с плоскими гораздо слабее изучены К. г. в многомерном евклидовом пространстве Rⁿ, п>2, определяемые как собственно разрывные подгруппы группы конформных автоморфизмов пространства здесь появляется ряд совершенно новых эффектов.

Лит.:[1] Роinсаre Н., "Acta math.", 1883, v. 3, p. 49- 92; [2] Кlein С h. F., "Math. Ann.", 1883, Bd 21, S. 141-218; [3] Форд Л. Р., Автоморфные функции, пер. с англ., М.- Л., 1936; [4] Lehner J., Discontinuous groups and automorphic functions, Providence, 1964; [5] К р а И., Автоморфные функции и клейновы группы, пер. с англ., М., 1975; [6] Крушкаль С. Л., Квазиконформные отображения и римановы поверхности, Новосиб., 1975; [7] A crash course on Kleinian groups, В.- Hdlb.- N. Y., 1974.

С. Л. Крушкаль.