КЛАСС


КЛАСС

- 1) Термин, употребляемый в математике в основном как синоним термина "множество" для обозначения произвольных совокупностей объектов, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком (напр., в алгебре-классы эквивалентности относительно данного отношения эквивалентности). Иногда К. предпочитают наз. совокупности, элементами которых являются множества (напр., в рекурсивной теории - перечислимые классы). В некоторых случаях под влиянием аксиоматической теории множеств (см. п. 2) термин "К." применяется для того, чтобы подчеркнуть, что данная совокупность оказывается собственно К., а не множеством в узком смысле (напр., в алгебре - примитивные классы универсальных алгебр, называемые также многообразиями). Теоретико-множественные операции над К. определяются так же, как и над множествами.

2) К. в аксиоматической теории множеств (точнее, в аксиоматич. системе Гёделя - Бернайса) - один из видов исходных объектов, рассматриваемых в этих системах, причем различие между множествами и К. состоит в том, что элементами К. и множеств, рассматриваемых в данной теории, могут быть только множества, но не классы. Идея введения так понимаемых К. в теорию множеств принадлежит

Дж. Нейману (J. Neumann) и основывается на его замечании, что известные противоречия канторовской теории множеств возникают не из-за допущения образования очень больших множеств, а из-за того, что таким множествам разрешается быть элементами других множеств. Кроме указанного ограничения, в названных аксиоматич. системах допускаются все обычные теоретико-множественные операции над К., приводящие к К., а не к множествам; к тому же для всякого в нек-ром смысле допустимого предиката, определенного на множествах, существует К., состоящий в точности из множеств, удовлетворяющих рассматриваемому предикату. Доказано, что непротиворечивость каждой из систем Гёделя - Бернайса и Цермело - Френкеля следует из непротиворечивости другой (чем подтверждается точка зрения Дж. Неймана). См. также Аксиоматическая теория множеств.

Лит.:[1] Коэн Пол Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; [2] Френкель А.-А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966.

В. А. Душский.

3) К. риманова пространства Vl- число ртакое, что Vl может быть локально изометрически вложено в (l+р) -мерное евклидово пространство Е l+p и не может быть вложено в евклидово пространство меньшего числа измерений. От вложения требуется достаточно высокая регулярность (т. к. рнманово пространство Vl допускает локальное изометрическое вложение в виде С 1 -гладкой гиперповерхности в Е l+1 (теорема Нэша)); класс аналитич. риманова пространства Vl не превосходит l(l+1)12 (теорема Жане - Картана).

К. риманова пространства равен нулю в том и только том случае, если тензор кривизны многообразия Vl тождественно равен нулю. Метрики постоянной положительной кривизны имеют К. 1 и реализуются в виде гиперсфер евклидова пространства. К. Z-мерного пространства постоянной отрицательной кривизны равен l-1 (теорема Картана). К. риманова многообразия V1 строго отрицательной двумерной секционной кривизны не меньше l-1 (см. [3]). Если риманово многообразие Vl имеет отрицательную k-мерную секционную кривизну, где k - четно, то К. Найден алгебраич. критерий [4], позволяющий установить, будет ли К. данного многообразия равен 1, основанный на том факте, что для метрик К. 1 при нек-рых дополнительных условиях уравнения Петерсона - Кодацци являются следствием, уравнений Гаусса.

Если риманово многообразие Vl является метрич. произведением римановых многообразий

причем Vli- пространства К. 1, то Vl есть пространство К. р = k (см. [5]). Если многообразия Vli имеют постоянную отрицательную секционную кривизну, то К. их метрич. произведения равен l-k (см. [5]).

К. двумерных римановых многообразий знакопостоянной кривизны равен 1. Вопрос остается открытым (1978) в случае метрики знакопеременной кривизны. Построен [6] пример двумерного риманова многообразия класса С 2,1, не допускающего локально изометричного погружения класса С 2 в Е 3. Однако любая компактная часть полной метрики на плоскости изометрично погружается в Е 4 (причем, если метрика имела регулярность С 3a, то поверхность принадлежит классу С 2a), т. е. К. не больше двух [7].

Понятие К. погружения вводится и для псевдориманова пространства. Пусть Vn(p, q)- псевдориманово многообразие, метрический тензор которого имеет рположительных и q отрицательных собственных значений, p+q=n,a En(p, q)- псевдоевклидово пространство с метрикой

Пусть k0- наименьшее неотрицательное целое число такое, что Vn(p, q )допускает погружение в пространство с Е п+k0( р, q+k0). Для каждого киз определяется k-й К. погружения многообразия Vn (р, q)как такое наименьшее число Nk, что Vn(p, q )допускает погружение в En + Nk(p + ak, q+k), где ak=Nk-k. К. погружения многообразия Vn(p, q )определяется как

Любое псевдориманово многообразие Vn(p, q )с аналитич. метрикой допускает аналитич. и изометрич. погружение в Em(r, s), где m=n(n+l)/2, a r, s- любые заданные целые числа, удовлетворяющие условию т. е. для всех к[8]. Если тензор Риччи для V"(p, q )равен нулю, то Nk неравно 1.

Если V"(p, q )имеет постоянную кривизну, то его К. равен 1, т. е. существует пространство En+1(r, s такое, что Vn(p, q )локально изометрично части гиперсферы в En+1(r, s). Для пространств постоянной отрицательной кривизны N0=n-1, тогда как N=1 (см. [9]).

Лит.:[1] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с нем., М., 1948; [2] Moor J., "Pacif. J. Math.", 1972, V. 40, № 1, p. 157-66; [3] Борисенко А. А., "Укр. геометр, сб.", 1973, в. 13, с. 15-18; [4] Розенсон Н. А., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1941, т. 5, с. 325-52; 1943. т. 7, с. 253-84; [5] Moor J., "J. Diff. Geometry", 1971, v. 5, №1-2, p. 159-69; M Погорело" А. В., "Докл. АН СССР", 1971, т. 198, М1, с. 42-43; [7] Позняк Э. Г., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, № 4, с. 47-76; [8] Фридман А., в кн.: Гравитация и топология, пер. с англ., М., 1966, с. 182-88; [9] Борисе и ко А. А., "Укр. геометр, сб.", 1976, в. 19, с. 11 -18.

А. А. Бористко.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Синонимы:

Смотреть что такое "КЛАСС" в других словарях:

  • класс — класс, а …   Русский орфографический словарь

  • класс — класс/ …   Морфемно-орфографический словарь

  • КЛАСС — (в логике и математике) 1) понятие, присущее всем элементам некоторой совокупности объектов; 2) совокупность выделенных по некоторому признаку объектов, мыслимая как целое. Понятие К. (множества) обычно относят к числу простейших, неопределяемых… …   Философская энциклопедия

  • Класс! — Класс! …   Википедия

  • КЛАСС — (лат. classis порядок.). 1) разряд однородных предметов. 2) собрание учеников для учебных занятий, а также помещение и самое время, назначенное для урока. 3) степень в государственной службе. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • класс — сущ., м., употр. часто Морфология: (нет) чего? класса, чему? классу, (вижу) что? класс, чем? классом, о чём? о классе; мн. что? классы, (нет) чего? классов, чему? классам, (вижу) что? классы, чем? классами, о чём? о классах 1. Классом называют… …   Толковый словарь Дмитриева

  • КЛАСС — КЛАСС, [ас] класса, м. [латин. classis]. 1. Социальная группа, часть общества, объединенная общностью интересов вследствие одинакового отношения к средствам производства и противостоящая другим социальным группам в силу противоположности… …   Толковый словарь Ушакова

  • КЛАСС! — КЛАСС! …   Википедия

  • КЛАСС — (class) Оксфордский словарь английского языка дает следующее определение класса: Разделение общества или порядок в обществе согласно статусу; разряд, категория общества . Но это определение класса столь же разъясняет, сколь и вносит путаницу.… …   Политология. Словарь.

  • класс — а; м. [от лат. classis разряд] 1. (чего) В научной терминологии: совокупность, группа предметов или явлений с общими признаками; разряд, категория. К. млекопитающих. К. земноводных. К. двудольных растений. Плавать на судах различных классов.… …   Энциклопедический словарь

  • класс — См. разряд …   Словарь синонимов

Книги

  • Класс!, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! ООО «Телекомпания Класс!» — производитель… Подробнее  Купить за 1125 руб
  • Класс, Джесси Рассел. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Класс (от лат. classis — группа) в классификации —… Подробнее  Купить за 998 руб
  • Класс Razvitie, Юрий Громыко. Книга адресована сотрудникам органов государственного управления, законодательной и исполнительной власти, среднему и высшему звену руководителей крупного бизнеса, представителям… Подробнее  Купить за 381 руб
Другие книги по запросу «КЛАСС» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.