КАРТАНА ПОДАЛГЕБРА

КАРТАНА ПОДАЛГЕБРА

конечномерной алгебры Ли g над полем k - нильпотентная подалгебра в совпадающая со своим нормализатором в Напр., если - алгебра Ли всех комплексных квадратных матриц фиксированного порядка, то подалгебра всех диагональных матриц является К. п. в g. К. п. может быть определена также как нильпотентная подалгебра t в g, совпадающая со своей фиттинговой нуль-к омпонентой

где ad обозначает присоединенное представление g. Пусть, далее, характеристика кравна 0. Для произвольного регулярного элемента множество n( Х,ft) всех элементов из ft, аннулируемых степенями оператора ad X, является К. п. в g и всякая К. п. в g имеет вид ( Х,ft) для подходящего регулярного элемента X. Всякий регулярный элемент принадлежит одной и только одной К. п. Размерности всех К. п. в Qодинаковы и равны рангу алгебры д. Всякая максимальная нильпотентная подалгебра в g размерности, равной рангу есть К. п. (но не всякая максимальная нильпотентная подалгебра есть К. п.). Образ К. п. при сюръективном гомоморфизме алгебр есть К. п. Если поле k алгебраически замкнуто, то все К. п. в g сопряжены, а точнее, преобразуются друг в друга операторами из алгебраич. группы Dавтоморфизмов алгебры д, алгебра Ли к-рой есть коммутант алгебры ad Д. Если g разрешима, это утверждение справедливо и без предположения об алгебраич. замкнутости к.

Пусть G - либо неприводимая алгебраич. линейная группа над k, либо связная группа Ли, и g - ее алгебра Ли. Тогда подалгебра t в g будет К. п. в д, если и только если она является алгеброй Ли Картана подгруппы в G.

Пусть g - подалгебра алгебры всех эндоморфизмов конечномерного векторного пространства Vнад k,a- наименьшая Ли алгебраическая алгебра в содержащая Тогда, если- К. п. в то - К. п. в и если t - К. п. в g, a- наименьшая алгебраич. подалгебра в содержащая t, то - К. п. в и

Если - некоторое расширение полей, то подалгебра t в g есть К. п. тогда и только тогда, когда есть К. п. в

Особо важную роль К. п. играют, когда g - полупростая алгебра Ли (это было использовано Э. Картаном [1]). В этом случае всякая К. п. t в g абелева и состоит из полупростых элементов (см. Жордана разложение), а ограничение Киллинга формы на t невырождено.

Лит.:[1] Cartan E., Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, P., 1894' [2] Джекобсон H., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] Шевалле К., Теория групп Ли, т. 3, пер. с франц., М., 1958; [4] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, пер. с франц., М., 1962.

В. Л. Попов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "КАРТАНА ПОДАЛГЕБРА" в других словарях:

  • КАРТАНА ТЕОРЕМА — 1) К. т. о старшем векторе: пусть g комплексная полупростая алгебра Ли, ei, fi, hi, i=i,..., r ее канонические образующие, т. е. линейно независимые образующие, между к рыми имеются следующие соотношения: где а ii=2, aij неположительные целые… …   Математическая энциклопедия

  • КАРТАНА РАЗЛОЖЕНИЕ — представление действительной некомпактной Ли полупростой алгебры g в виде прямой суммы векторных пространств. Пусть gC комплексная оболочка д, тогда в gC существует действительная компактная подалгебра gK той же размерности, что и д, такая, что… …   Математическая энциклопедия

  • ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ПОДАЛГЕБРА — подалгебра конечномерной алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем, содержащая какую либо подалгебру Бореля, т. е. максимальную разрешимую подалгебру алгебры . Если конечномерная алгебра Ли над произвольным полем k, то ее подалгебра наз. П. п …   Математическая энциклопедия

  • КРАТНОСТЬ ВЕСА — М представления р алгебры Ли t в векторном пространстве V размерность nM весового подпространства соответствующего весу М (см. Вес представления). Пусть t Картана подалгебра полупростой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ПОЛУПРОСТАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли, не имеющая ненулевых разрешимых идеалов (см. Ли разрешимая алгебра). В дальнейшем рассматриваются конечномерные Ли п. а. над полем kхарактеристики 0 (о Лн п. а. над полем ненулевой характеристики см. Ли алгебра). Полупростота… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ГРАДУИРОВАННАЯ АЛГЕБРА — алгебра Ли над полем К, градуированная при помощи нек рой абелевой группы А, т. е. разложенная в прямую сумму подпространств , таким образом, что Если А упорядоченная группа, то для каждой фильтрованной алгебры Ли ассоциированная с ней… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ ПОЛУПРОСТАЯ ГРУППА — связная группа Ли, не содержащая нетривиальных связных разрешимых (или, что равносильно, связных абелевых) нормальных делителей. Связная группа Ли пелупроста тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли полупроста. Связная группа Ли Gназ. п р о с т… …   Математическая энциклопедия

  • ЛИ АЛГЕБРА — векторное пространство, на к ром определена операция, называемая коммутированием. Для элементов алгебры определены линейные операции сложение и умножение на число. Если допускается умножение на вещественные числа, то Л. а. наз. вещественной; если …   Физическая энциклопедия

  • ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ — изображение элементов группы матрицами или преобразованиями линейного пространства, при к ром сохраняется исходная групповая структура. Поскольку достаточно хорошо изучены матричные группы, при исследовании произвольной группы стараются… …   Физическая энциклопедия

  • КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — множества с двумя бинарными операциями, к рые обычно принято наз. сложением и умножением. Кольцом наз. множество: 1) являющееся абелевой группой относительно сложения (в частности, в кольце существует нулевой элемент, обозначаемый 0, и… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»