КАРТАНА ТЕОРЕМА

- 1) К. т. о старшем векторе: пусть g - комплексная полупростая алгебра Ли, e_i, f_i, h_i, i=i,..., r- ее канонические образующие, т. е. линейно независимые образующие, между к-рыми имеются следующие соотношения:

где а _ii=2, a_ij -неположительные целые числа при i, j=1,. .., r, a_ij=0 влечет за собой а _ji-=О, и пусть t - подалгебра Картана алгебры являющаяся линейной оболочкой элементов h₁,..., h_r. Пусть также р - линейное представление g в комплексном конечномерном пространстве V. Тогда существует ненулевой вектор для которого:

где k_i - некоторые числа. К. т. установлена Э. Картаном [1]. Вектор vназ. старшим вектором представления р, а линейная функция L на t, определенная условиями г=1, . . ., r, наз. старшим весом представления р, соответствующим v. Упорядоченный набор чисел (k₁, ..., k_r )наз. набором числовых отметок старшего веса К. f. дает полную классификацию неприводимых конечномерных линейных представлений комплексной полупростой конечномерной алгебры Ли. Она утверждает, что всякое конечномерное комплексное неприводимое представление g обладает единственным, с точностью до пропорциональности, старшим вектором, причем соответствующие ему числовые отметки - неотрицательные целые числа; два конечномерных неприводимых представления эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие старшие веса совпадают и любой набор неотрицательных целых чисел является набором числовых отметок старшего веса нек-рого конечномерного комплексного неприводимого представления.

Лит.:[1] Сartan E., "Bull. Scl. math.", 1925, t. 49, p. 130 - 52' [2] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли, пер. с франц., М., 1962; [4] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;' [5] Dixmier J., Algebres enveloppantes, P., 1974; [6] Семинар по алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973. В. Л. Попов.

2) К. т. в теории функций многих комплексных переменных - так наз. теоремы А и В о когерентных аналитич. учках на многообразиях Штейна, впервые доказанные А. Картаном (Н. Cartan, [1]). Пусть - пучок ростков голоморфных функций на комплексном многообразии X. Пучок модулей на Xназ. когерентным аналитически м, если в окрестности каждой точки существует точная последовательность пучков

для нек-рых натуральных р, q. Такими являются, например, все локально конечно порожденные подпучки в

Теорема А. Пусть - когерентный аналитич. учок нa многообразии Штейна X. Тогда для каждой точки найдется конечное число глобальных сечений s₁, ..., s_N пучка таких, что любой элемент s слоя . представляется в виде

где все (Другими словами, пучок локально конечно порожден над своими глобальными сечениями. )

Теорема В. Пусть - когерентный аналитич. учок на многообразии Штейна X. Тогда все группы когомологий порядка многообразия Xс коэффициентами в пучке тривиальны:

К. т. имеют много приложений. Из теоремы А получаются различные теоремы существования глобальных аналитич. объектов на многообразиях Штейна. Основным следствием теоремы В является разрешимость проблемы: на многообразии Штейна уравнение дf=g с условием согласования всегда разрешимо.

Схема применения теоремы В такова: если - точная последовательность пучков на X, то последовательность

тоже точна. Если X- многообразие Штейна, то

и, значит, j₀ есть отображение на, а j_p,- изоморфизмы.

Теорема В точна: если на комплексном многообразии Xгруппы для любого когерентного аналитич. пучка то X- многообразие Штейна. Теоремы А и В вместе с их многочисленными следствиями составляют т. наз. теорию Ока - Картана о многообразиях Штейна. Из этих теорем следует разрешимость на многообразиях Штейна всех классич. проблем многомерного комплексного анализа - проблема

Кузена, Леви, Пуанкаре и др. Теоремы А и В и их следствия допускают дословное обобщение на пространства Штейна.

Лит.:[1] Картан А., в кн.; Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958, с. 352-62; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [3] Хёрмандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1968.

Е. М. Чирка.