ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ


ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ

степени к(порядка k)гладкой динамической системы - а) абсолютный И. и.: внешняя дифференциальная форма j степени к, переходящая в себя под действием преобразований, образующих эту систему; б) относительный И. и.: внешняя дифференциальная форма j степени k, внешний дифференциал к-рой является абсолютным И. и. (имеющим уже степень k+1).

Обычно речь идет об И. и. для потока {St}, определяемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений x=f(x), где f - гладкое векторное поле, заданное в нек-рой области евклидова пространства (или многообразия); в терминах координат (локальных координат в случае многообразия) эта система имеет вид

Важный пример И. и.- форма объема (f=p(x)dx1dxn [где р(х)- положительная локально интегрируемая (часто даже непрерывная или гладкая) функция координат]. При гладкой р эта форма является абсолютным И. и. системы (1), если В этом случае поток имеет инвариантную меруm(A) = к-рая в терминах (локальных) координат задается своей плотностью р (х)(последнюю, допуская нек-рую вольность речи, тоже часто наз. И. и.).

Гамилътонова система с (обобщенными) импульсами и координатами р i, qi, i=1, ..., т, имеет относительный И. и.

и абсолютный И. и.

Этот факт можно положить в основу определения гамильтоновых систем и использовать при развертывании их теории, ибо многие специфич. особенности последней непосредственно связаны с этими И. и. (см.[4], [5]). Внешние степени wk (в том числе и форма объема wm) являются абсолютными, а произведения ywk -относительными И. и. любой гамильтоновой системы, поэтому их наз. универсальными И. и. гамильтоновых систем. С точностью до множителя все универсальные И. и. гамильтоновых систем сводятся к указанным (см. [4], [7]).

Если система (1) имеет абсолютный И. и. j степени к, то для любой k-мерной гладкой цепи с (напр., гладкого k-мерного многообразия)

Если же система (1) имеет относительный И. и., то (2), вообще говоря, имеет место лишь тогда, когда цепь является границей цепи размерности k+l. Иногда относительный И. и. определяют несколько более сильным требованием, чтобы (2) выполнялось для всех циклов с. Первоначально И. и. были определены А. Пуанкаре (см. [1], [2]) именно как интегралы указанного выше типа, остающиеся инвариантными, когда область интегрирования движется под действием потока.

Все сказанное легко распространяется на неавтономные системы x=f(x, t). Более существенной является модификация понятия И. и., предложенная Э. Картаном (В. Cartan. [3]) и связанная с переходом (даже в автономном случае) к расширенному фазовому пространству (к обычным фазовым переменным добавляется время), в к-ром интегральные кривые рассматриваемой системы дифференциальных уравнений образуют нек-рое семейство линий (конгруэнцию). Э. Картан требует, чтобы интеграл формы ф по цепи с(или по циклу, если речь идет об относительном И. и.) оставался неизменным, когда каждую точку сдвигают вдоль интегральной кривой, проходящей через эту точку; при этом различные точки можно сдвигать по-разному, лишь бы это было гладкой деформацией цикла с. (Напр., в новом смысле относительным И. и. гамильтоновой системы является не y, а весьма полезный интегральный инвариант Пуанкаре- Картан а -Hdt, где H- гамильтониан, см. [3]-[5].)

Родственное определение дано в [6].

Лит.:[1] Poincare H., "Acta math.", 1890. t. 13, p. 1-270; [2] Пуанкаре А., Избр. тр., пер. с франц., т. 2, М., 1972; [3] Картан Э., Интегральные инварианты, пер. с франц., М.- Л., 1940; [4] Гантмахер Ф. Р., Лекции по аналитической механике, М., 1960; [5] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974; [6] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [7] Hwa-Chung Lee, "Proc. Roy. Soc. Edinbourgh", ser. A, 1947, v. 62, p. 237 - 46.

Д. В. Аносов,


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ" в других словарях:

  • интегральный инвариант — integralinis invariantas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral invariant vok. Integralinvariante, f rus. интегральный инвариант, m pranc. invariant intégral, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ФУРЬЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР — интегральный оператор, обобщенное ядро к рого является быстроосциллирующей функцией или интегралом от такой функции. Операторы такого типа возникли при исследовании асимптотики быстроосциллирующих решений уравнений с частными производными (см.… …   Математическая энциклопедия

  • ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — теория инвариантных (относительно непрерывных групп отображений пространства на себя) мер на множествах, состоящих из подмногообразий пространства (напр., прямых, плоскостей, геодезических, выпуклых поверхностей и т. п. многообразий, сохраняющих… …   Математическая энциклопедия

  • ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА — система обыкновенных дифференциальных уравнений для 2га неизвестных ( обобщенные импульсы ) и ( обобщенные координаты ), имеющая вид: где Н нек рая функция от наз. Гамильтона функцией, или гамильтонианом, системы (1). Г. с. наз. также… …   Математическая энциклопедия

  • ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА ЛИНЕЙНАЯ — система вида где Н квадратичная форма с действительными коэффициентами от переменных с коэффициентами, к рые могут зависеть от времени t. Г. с. л. наз. также линейной канонической системой. Система (1) может быть записана в векторной форме: где х …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ — потоки на торе, класс динамических систем. Примером может служить поток, порожденный групповыми сдвигами тора (как Ли группы )на элементы к. л. однопараметрич. подгруппы тора. В терминах угловых , или циклических , координат на торе,… …   Математическая энциклопедия

  • ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА — 1) И. м. в измеримом пространстве относительно измеримого преобразования Тэтого пространства такая мера m на что m(A)=m(T 1A). для всех Обычно подразумевается, что мера конечная (т. е. или по крайней мере cr конечная (т. е. Xможно представить в… …   Математическая энциклопедия

  • ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА ВОЗВРАЩЕНИЯ — одна из основных теорем общей теории динамич. систем с инвариантной мерой. Пусть движение системы описывается дифференциальными уравнениями (1) где однозначные функции Xi( х 1, . . ., х п).удовлетворяют условию так что уравнения (1) допускают… …   Математическая энциклопедия

  • ЧЕТАЕВА УРАВНЕНИЯ — общие канонич. уравнения механики голономных систем, представимые с помощью нек рой группы Ли бесконечно малых преобразований и эквивалентные Пуанкаре уравнениям. Если вместо независимых переменных определяющих действительные перемещения, ввести… …   Математическая энциклопедия

  • Integralinvariante — integralinis invariantas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral invariant vok. Integralinvariante, f rus. интегральный инвариант, m pranc. invariant intégral, m …   Fizikos terminų žodynas


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.