ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ


ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

- решение дифференциального уравнения. И. д. у. наз. преимущественно соотношение вида Ф( х, у)=0, определяющее решение уобыкновенного дифференциального равнения

как неявную функцию независимой переменной х. В этом случае говорят также о частном интеграле в противоположность общему интеграл у уравнения (1), т. е. соотношению

из к-рого при соответствующем выборе постоянных C1, ... , С п получается любая интегральная кривая уравнения (1), проходящая в рассматриваемой области Gплоскости ( х, у). Если из соотношения (2) и из n соотношений, получающихся из него последовательным дифференцированием по х(причем урассматривается как функция х), исключить произвольные постоянные С 1, .. ., С п, то в результате приходят к уравнению (1). Возникающее в процессе интегрирования уравнения (1) соотношение вида

содержащее производные до k-ro порядка, и п-кпроизвольных постоянных, иногда наз. промежуточным интегралом уравнения (1). Знание промежуточного интеграла (3) сводит решение уравнения (1) порядка пк решению уравнения (3) порядка к. Если соотношение (3) содержит лишь одну произвольную постоянную, т. е. k=п-1, то оно наз. первым интегралом уравнения (1). Это уравнение имеет ровно пнезависимых первых интегралов; знание птаких интегралов позволяет получить общее решение уравнения (1) путем исключения из них величин у',. .., y(n-1).

Если рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений

то под ее общим интегралом имеют в виду совокупность соотношений

где Ci- произвольные постоянные, в неявном виде описывающую все решения системы (4) в нек-рой области Gпространства (t, x1,..., х п). Каждое из соотношений (5) в отдельности наз. первым интегралом системы (4). Чаще под первым интегралом системы (4) понимают функцию u(t, x1,..., х п), обладающую тем свойством, что она принимает постоянное значение вдоль любого решения системы (4) в области G. Система (4) имеет ровно пнезависимых первых интегралов, знание к-рых дает возможность найти общее решение без интегрирования системы; знание кнезависимых первых интегралов позволяет свести решение системы (4) порядка пк решению системы порядка п-к. Гладкая функция u(t, x1, ..., х п )является первым интегралом системы (4) с гладкой правой частью тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

Аналогичная терминология иногда употребляется в теории дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка. Так, под И. д. у.

или под его частным интегралом, понимают решение этого уравнения ( интегральную поверхность). Полным интегралом уравнения (6) наз. семейство решений Ф( х, у, z, а, b)=0, зависящее от двух произвольных постоянных. Общий интеграл уравнения (6) - соотношение, содержащее одну произвольную функцию и при каждом выборе этой функции дающее решение уравнения.

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Н. X. Розов.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ" в других словарях:

  • ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ — системы обыкновенных дифференциальных уравнений n го порядка в области G совокупность псоотношений содержащая ппараметров и в неявном виде описывающая семейство функций, составляющих общее решение этой системы в области G. Часто О. и. системы (1) …   Математическая энциклопедия

  • Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро — Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину , искомую функцию и её производные, то есть соотношение вида: Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они… …   Википедия

  • Дифференциальные уравнения — Дифференциальное уравнение  в математике это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи… …   Википедия

  • Обыкновенные дифференциальные уравнения — (ОДУ) это дифференциальное уравнение вида , где неизвестная функция (возможно, вектор функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени , штрих означает дифференцирование по . Число… …   Википедия

  • Общий интеграл —         обыкновенного дифференциального уравнения          F (x, у, у ,..., y (n)) =0          соотношение          Φ(х, у, C1,..., Cn) =0,          содержащее и существенных произвольных постоянных C1,..., Cn, следствием которого является данное …   Большая советская энциклопедия

  • ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ — обыкновенного дифференциального уравнения отличная от постоянной и непрерывно дифференцируемая функция, производная к рой вдоль решений данного уравнения тождественно равна нулю. Для скалярного уравнения (*) П. и. есть функция F(x, у),… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ — решение и ( х, а). x=(x1, . . ., х n), a=(a1 . . ., an), дифференциального уравнения с частными производными 1 го порядка (1) к рое зависит от ппараметров a1, . . ., а n и в рассматриваемой области удовлетворяет условию Если и( х,… …   Математическая энциклопедия

  • ВИНЕРА ИНТЕГРАЛ — абстрактный интеграл лебе говского типа по множествам бесконечномерного функционального пространства от функционалов, определенных на этих множествах. В. и. введен Н. Винером (N. Wiener) в 20 х гг. 20 в. в связи с вопросами броуновского движения… …   Математическая энциклопедия

  • МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ ИНТЕГРАЛ — предел произведений вида где непрерывная на отрезке функция со значениями в пространстве ограниченных операторов в банаховом пространстве разбиение отрезка точками Предел берется, когда диаметр разбиения и обозначается Если операторы …   Математическая энциклопедия

  • Общее решение —         обыкновенного дифференциального уравнения          у (n) = f (х, у, у ,..., у (n 1)) семейство функций у= φ(x, C1,..., Сп),          непрерывно зависящих от n произвольных постоянных C1,..., Cn, такое, что при соответствующем выборе этих… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.