- МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ ИНТЕГРАЛ
- предел произведений вида
где
- непрерывная на отрезке
функция со значениями в пространстве ограниченных операторов в банаховом пространстве
- разбиение отрезка
точками
Предел берется, когда диаметр разбиения
и обозначается
Если операторы
коммутируют при различных t, то
М. и. является удобной формой представления эволюционного оператора
для дифференциального уравнения
(см. [1]). При этом
Произведение, пределом к-рого является последний М; и., также является эволюционным оператором для уравнения с кусочно постоянным оператором
при
Если
и
- две непрерывные оператор-функции, то справедлива формула
где знак
над произведением означает, что множители с меньшими номерами пишутся правее множителей с большими.
Формулы (1), (2) допускают обобщения на нек-рые классы дифференциальных уравнений с неограниченными оператор-функциями, откуда получаются представления решений дифференциальных уравнений с частными производными параболического и шрёдингерова типов в виде интегралов по траекториям (континуальных интегралов) (см. [2]).
Формулы типа (2) лежат также в основе нек-рых численных методов решения уравнений.
Если
- скалярная непрерывная функция, а
операторнозначная непрерывная функция ограниченной вариации, то существует предел
наз. мультипликативным интегралом Стилтьеса. Эти интегралы нашли применение в теории J-нерастягивающих матриц и операторов (см. [3], [4]).
Лит.:[1] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970; [2] Далецкий Ю. Л., "Успехи матем. наук", 1962, т. 17, в. 5, с. 3-115; [3] Потапов В. П., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1955, т. 4, с. 125-236; [4] Гинзбург Ю. П., "Матем. исследования", (Киш.), 1967, т. 2, № 2, с. 52-83.
С. Г. Крейн.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.