ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

- отображение одного топологич. пространства на другое, при к-ром образ всякого замкнутого множества есть замкнутое множество. Класс непрерывных 3. о. играет важную роль в общей топологии и ее приложениях. Непрерывные замкнутые бикомпактные отображения наз. совершенными. Непрерывное отображение f: f(X)=Y T1 -пространств замкнуто тогда и только тогда, когда разбиение непрерывно в смысле

Александрова (непрерывно сверху) или когда для каждого открытого в X множества Uмножество = открыто в U. Последнее свойство лежит в основе определения полунепрерывных сверху многозначных отображений. Т. о., f замкнуто тогда и только тогда, когда обратное (многозначное) отображение непрерывно сверху. Каждое непрерывное отображение бикомпакта на хаусдорфово пространство - 3. о. Каждое непрерывное 3. о. Т 1- пространств факторно; обратное неверно. Ортогональное проектирование плоскости на прямую непрерывно и открыто, но не замкнуто. Также не всякое непрерывное 3. о. открыто. Если f: непрерывно и замкнуто, а Xи У вполне регулярны, то f-1y=[f-1y]bX для любой точки (здесь b Х - Стоуна - Чеха бикомпактное расширение, а - непрерывное продолжение отображения на расширения Стоуна - Чеха пространств Xи Y); в классе нормальных пространств справедливо и обратное. Для непрерывных 3. о. при переходе к образу сохраняются следующие топологич. свойства: нормальность; коллективная нормальность; совершенная нормальность; паракомпактность; слабая паракомпактность. Полная регулярность и сильная паракомпактность могут для непрерывных замкнутых и даже совершенных отображений не сохраняться. При переходе к прообразу для непрерывных 3. о. перечисленные выше свойства могут не сохраняться. Это объясняется тем, что для непрерывного 3. о. прообразы точек могут быть небикомпактными, хотя во многих случаях непрерывные 3. о. мало отличаются от совершенных. Если f - непрерывное 3. о. метрич. пространства Xна пространство У с первой аксиомой счетности, то Yметризуемо, а граница полного прообраза f-1y бикомпактна для любого Если f - непрерывное З. о. метрич. пространства Xна Т 1 -пространство Y, то множество всех точек при к-рых f-1y небикомпактно, д-дискретно.

Лит.:[1] Архангельский А. В., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 4, с. 133-84; [2] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [3] Еngelking R., Outline of General Topology, Amst., 1968.

В. И. Пономарев


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное


Смотреть что такое "ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ" в других словарях:

  • Замкнутое отображение — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • ВПОЛНЕ ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное отображение обладающее следующим свойством: для любой точки и всякого такого конечного семейства открытых подмножеств пространства , что множество открыто. При этом через обозначается малый образ множества О i относительно отображения …   Математическая энциклопедия

  • Замкнутое подмножество — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • НЕПРЕРЫВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение топологич. пространства Xв топологич. пространство У такое, что для всякой точки и для всякой окрестности ее образа f(x0) существует такая окрестность точки х 0 , что Это определение является перефразировкой окрестност ного… …   Математическая энциклопедия

  • Открытое отображение — Курсив обозначает ссылку на этот словарь # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш …   Википедия

  • СОВЕРШЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой… …   Математическая энциклопедия

  • ИЗМЕРИМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение f измеримого пространства в измеримое пространство такое, что В случае, когда есть а алгебра, а действительная прямая с s алгеброй А 2 борелевских множеств, понятие И. о. сводится к понятию измеримой функции (однако, когда есть лишь s …   Математическая энциклопедия

  • Непрерывное отображение — или непрерывная функция в математике  это отображение из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений. Наиболее общее определение формулируется для отображений… …   Википедия

  • НЕПРИВОДИМОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное отображение топологич. пространства Xна топологич. пространство Y такое, что образ всякого замкнутого в Xмножества, отличного от X, отличен от Y. Если непрерывное отображение, причем и все прообразы точек при f бикомпактны, то… …   Математическая энциклопедия

  • РАЗМЕРНОСТЬ — топологического пространства X целочисленный инвариант dim X, определяемый следующим образом. Тогда и только тогда dim X = 1, когда . О непустом тополо гич. пространстве Xговорят, что оно не более чем n мерно, и пишут dim , если в любое конечное… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»