ДРОБНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

- распространение операций интегрирования и дифференцирования на случай дробных порядков. Пусть j(x)интегрируема на отрезке [ а, b],- интеграл от f по [ а, х], а - интеграл от I^a_a-1.f(x)по [ а, х], а=2,3, ... . Имеет место соотношение

где Г(a)= (a-1)! - гамма-функция. Правая часть в (1) имеет смысл при всех a>0. Соотношение (1) определяет дробный интеграл (или интеграл Римана - Лиувилля) порядка а от f с началом в точке а. Оператор I^a_z при комплексных значениях параметра z изучался Б. Риманом (В. Riemann, 1847). Оператор I^a_a линеен и обладает полугрупповым свойством:

Операция, обратная дробному интегрированию, носит название дробного дифференцирования: если I_af=F, то f есть дробная производная порядка aот F. При 0<a<1 имеет место формула Маршо:

Понятие Д. и. и д. впервые ввел Ж. Лиувилль (J. Liouville, 1832), в частности он рассмотрел оператор a>0:

(при соответствующих ограничениях на функцию f; см. [1], где приведены также оценки оператора I_a в L_p).

Для интегрируемой 2p-периодической функции f(x)с нулевым средним значением по периоду удобно (см. [2]) определение, предложенное Г. Вейлем (Н. Weyl, 1917): если

то интеграл Вейля f_a (х)порядка a>0 функции f определяется формулой

производная f^b порядка b>0 определяется при этом равенством

где п- наименьшее целое, большее [5] отметим, что f_a(x). совпадает с I_af(x)).

Перечисленные определения получили дальнейшее развитие в рамках теории обобщенных функций. Для периодических обобщенных функций

операция дробного интегрирования I_af=f_a выполнима по формуле (2) для любых действительных а(при отрицательных aI_afсовпадает с дробной производной порядка а) и обладает групповым свойством по параметру a.

В n-мерном пространстве Xаналогом оператора дробного интегрирования является риссов потенциал (или интеграл типа потенциала)

Обратная к R_a операция наз. риссовой производной порядка а.

Лит.:[1] Хард и Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1, М., 1965; [3] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд.', М., 1962; [4] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., 1966.

П. И. Лизоркин.