ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

- одно из основных понятий современной дифференииальной геометрии, включающее конкретные изучаемые в ней структуры. Д.-г. с. определяется для данного дифференцируемого многообразия М п как дифференцируемое сечение в расслоенном пространстве( Х F, pF, М n )с базой М п, ассоциированном с нек-рым главным расслоением (X, р, М п), или, в другой терминологии, как дифференцируемое поле нек-рого геометрич. объема на М n. Здесь Fявляется нек-рым дифференцируемым -пространством, где (V - структурная группа Ли главного расслоения (X, р, М п), или, в другой терминологии, пространством представления группы Ли

Если (X, р, М n).- главное расслоение реперов в касательных к М п пространствах, G- нек-рая замкнутая подгруппа в =GL(n, R), a F- однородное пространство то соответствующая Д.-г. с. на М п наз. G-c труктурой, или инфинитезимальной структурой 1-го порядка. Напр., если Gсостоит из всех таких линейных преобразований (элементов из GL(n,R).), к-рые оставляют инвариантным m-мерное пространство в Rn, то соответствующая G-структура определяет на М п распределение m-мерных подпространств. Если Gявляется ортогональной группой (и, R) - подгруппой элементов из GL(n,R), сохраняющих скалярное произведение в Rn, то G- структура есть риманова метрика на М п, т. е. поле положительно определенного симметр:;ч. тензора gij. Аналогично, частными случаями G-структуры на М п являются почти комплексная и комплексная структуры. Обобщением G-структуры является инфинитезимальная структура r-го порядка r>1 (или G-структура высшего порядка); здесь (X, р) М n )является главным расслоением реперов r-порядка на М п,a G - замкнутой подгруппой eго структурной группы Dnr.

Важными частными случаями Д.-г. с. являются связности. Напр., связность в главном расслоении получается, если в роли М n выступает пространство нек-рого главного расслоения ( Р, р, В), а G-структуро на Рявляется такое распределение m-мерных, m=dim P-dimB, подпространств, дополнительных к касательным пространствам слоев, к-рое инвариантно относительно действия в Рструктурной группы расслоения. Связности на многообразии М п являются частными случаями Д.-г. с. на М п, но более общими, чем G-cтpyктуры на М п. Напр., аффинная связность на М п, к-рую можно определить полем объекта связности получается как Д.-г. с. на М п, при к-рой (X, р, М n )является главным расслоением реперов 2-го порядка, - его структурной группой D2n а пространство Fпредставления группы Dn- пространством R3n с координатами где представление определяется формулами

здесь

- координаты элемента группы В случае проективной связности на Mn имеют дело с нек-рым представлением группы Dв пространстве R3(n+1), а в случае связностей высшего порядка - с представлениями группы При таком подходе теория Д.-г. с. имеет самый тесный контакт с геометрических объектов теорией.

Лит.:[1] Вагнер В. <В., [Дополнение], в кн.: Веблен О. Уайтхед Дж., Основания дифференциальной геометрии, пер с англ., М., 1949, с. 135-223; [2] Лаптев Г. Ф., "Тр. Моск матем. об-ва", 1953, т. 2, с. 275-382; [3]Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [4] Стерн берг С, Лекции по дифференциальной геометрии, пер. англ., М., 1970.

Ю. Г. <Лумисте


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА" в других словарях:

  • НЕЛИНЕЙНАЯ СВЯЗНОСТЬ — дифференциально геометрическая структура, задаваемая на категории гладких расслоенных пространств, ассоциированных с нек рым главным G расслоением, к рая фиксирует определенный для данной Н. с. изоморфизм слоев (параллельный перенос) вдоль каждой …   Математическая энциклопедия

  • АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ — дифференциально геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство имеет типовым слоем аффинное пространство размерности . Структурой такого Ек… …   Математическая энциклопедия

  • ЕВКЛИДОВА СВЯЗНОСТЬ — дифференциально геометрическая структура на евклидовом векторном расслоении, обобщающая Леви Чивита связность и риманоеу связность в римановой геометрии. Гладкое векторное расслоение наз. евклидовым, если каждый его слой обладает структурой… …   Математическая энциклопедия

  • КОНФОРМНАЯ СВЯЗНОСТЬ — дифференциально геометрическая структура на гладком многообразии М, специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство Еимеет своим типовым слоем конформное пространство С п размерности n=dim M.… …   Математическая энциклопедия

  • ПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ — дифференциально геометрическая структура на гладком многообразии М;специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство Еимеет своим типовым слоем проективное пространство Р n размерности n=dim М.… …   Математическая энциклопедия

  • СВЯЗНОСТЬ — на расслоенном пространстве дифференциально геометрическая структура на гладком расслоенном пространстве со структурной группой Ли, обобщающая связности на многообразии, в частности, напр., Леви Чивита связность в римановой геометрии. Пусть… …   Математическая энциклопедия

  • Дифференциальная алгебра — Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием  унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля  поле рациональных… …   Википедия

  • математизация науки —         МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУКИ применение математики для теоретического представления научного знания. И само научное знание, и математика, и математизация научного знания зародились в античности. Первую математическую концепцию природы создали… …   Энциклопедия эпистемологии и философии науки

  • ПЛАТОН — (nlato) (427 347 до н.э.) др. греч. мыслитель, наряду с Пифагором, Парменидом и Сократом родоначальник европейской философии, глава филос. школы Академия. Биографические данные. П. представитель аристократического семейства, принимавшего активное …   Философская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.