ПРОЕКТИВНАЯ СВЯЗНОСТЬ

дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М;специальный вид связности на многообразии, когда приклеенное к Мгладкое расслоенное пространство Еимеет своим типовым слоем проективное пространство Р _n размерности n=dim М. Структурой такого Ек каждой точке присоединяется экземпляр проективного пространства ( Р _п) _х, к-рый отождествляется (с точностью до гомологии с инвариантной связкой прямых в точке х).с касательным центроаффинным пространством Т _х (М), дополненным бесконечно удаленной гиперплоскостью. П. с., как связность в таком Е, предусматривает сопоставление каждой гладкой кривой

с началом x₀ и каждой ее точке x_t проективного отображения так, что удовлетворяется следующее условие. Пусть Мпокрыто координатными областями, в к-рых фиксировано гладкое поле репера (P_n)_x У к-рого вершина, определяемая вектором е ₀, совпадает с х. (Репер в Р _п определяется классом эквивалентности базисов в векторном пространстве V_n+1, если эквивалентными считаются те {е_a}и {е'_a},a=0,1, ..., n, у к-рых ) Тогда при отображение семейства должно стремиться к тождественному отображению, причем главная часть его отклонения от последнего должна определяться относительно поля реперов в нек-рой окрестности точки х ₀ матрицей линейных дифференциальных форм

(1)

общей для всех L. Другими словами, образ репера в точке x_t при отображении должен быть определен векторами

где X- касательный вектор к Lв точке х ₀ и Возможность перехода к эквивалентным базисам приводит к тому, что среди форм (1) существенны только

(2)

При преобразовании репера поля в произвольной точке согласно формулам , где , т. е. при переходе к произвольному элементу главного расслоенного пространства П реперов в пространствах ( Р _п) _х, формы (1) заменяются следующими 1-формами на П:

(3) 2-формы

(4)

являются полубазовыми, т. е. линейными комбинациями , и тензорными, т. е. при преобразовании репера матрицами имеют место формулы

где составлены из (3) аналогично (4). Для существенных форм (2) имеют место структурные уравнения П. с. (где для простоты опущены штрихи):

(5)

где . Здесь правые части полубазовы; они составляют систему форм кручения-кривизны П. с. Равенство имеет инвариантный смысл. В этом случае говорят о П. с. нулевого кручения; для нее . Инвариантные тождества

,

выделяют специальный класс П. с., называемых (по Картану) нормальными П. с.

Формы (1) определяют П. с. на Моднозначно: образ при отображении репера в точке x_t определяется решением {e_a(t}} системы

(6)

при начальных условиях u_a(0)=e_a, где xⁱ=xⁱ(t) - уравнения кривой Lв нек-рой координатной окрестности ее точки x₀ с координатами х ⁱ(0).

Любые 1-формы , заданные на II и удовлетворяющие уравнениям (5) с правыми частями, выражающимися через , где линейно независимы, определяют в этом смысле нек-рую П. с. на М.

Кривая, к-рую описывает в ( Р _n)_x0 точка, определяемая первым вектором e₀(t).решения {e_a(t)}системы (6), наз. разверткой кривой L. Кривая наз. геодезической линией П. с. на М, если ее развертка в нек-рой окрестности произвольной ее точки хявляется прямой пространства ( Р _n) _х. Уравнения х ⁱ=xⁱ(t).геодезич. линии определяются с помощью функций

из системы

где J - век-рая 1-форма. В репере, где wⁱ = dxⁱ, , эта система имеет вид

(7)

где Q^a и Qⁿ - многочлены 2-го порядка, коэффициенты к-рых есть функции от х ¹, . . ., х ⁿ.

Теорема Картана: если на гладком многообразии Мзадана система кривых, локально определяемая системой дифференциальных уравнений вида (7), то существует одна и только одна нормальная П. с., для к-рой эта система кривых является системой геодезич. линий.

Теория П. с. дает, таким образом, средство для инвариантного исследования систем дифференциальных уравнений специального вида. П. с. полезны также при исследовании геодезических (или проективных) отображений пространств аффинной связности. П. с. сводится к аффинной связности, если на Мсуществуют локальные поля реперов, относительно к-рых Для каждой аффинной связности на Мсуществует единственная нормальная П. с., имеющая общие геодезич. линии, из к-рой она может быть получена. Две аффинные связности геодезически (или проективно) эквивалентны, если их нормальные П. с. совпадают. В частности, аффинная связность на Мпри dim M>2 проективно евклидова тогда и только тогда, когда ее тензор проективной кривизны К _ikl обращается в нуль.

Лит.:[1] Cartan E., "Bull. Soc. math. France", 1924, t. 52, p. 205-41; [2] его же, Lecons sur la thfiorie des espaces a connexion projective, P., 1937; [3] его же, Пространства аффинной, проективной и конформной связности, пер. с франц., Казань, 1962; [4] Коbауаshi S., Naganо Т., "J. Math, and Mech.", 1964, V. 13, № 2, p. 215-35. Ю. Г. Лумисте.