ДИРИХЛЕ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА

- задача отыскания минимума Дирихле интеграла

при заданных граничных условиях u| _дG=j, где функция j задана на границе дG га-мерной области G. Решение этой задачи является и решением первой краевой задачи для уравнения Лапласа:

Д. в. з.- первая задача на минимизацию функционала, к к-рой было сведено решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными.

Д. в. з. естественно рассматривать в классе функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые с квадратом. В случае ограниченной области это множество функций совпадает с Соболева пространством и потому обладает свойством полноты в соответствующей метрике. Кроме того, каждая функция этого пространства имеет на дG граничные значения в смысле сходимости почти всюду, к-рые в случае достаточной гладкости границы совпадают с граничными значениями в смысле сходимости в среднем или в смысле предела граничных значений непрерывных в замкнутой области функций, аппроксимирующих в метрике пространства заданную функцию. Если G- ограниченная область и если существует хоть одна функция и, для к-рой (такие функции наз. допустимыми), то решение u₀ Д. в. з. существует и единственно. Это решение и ₀ является гармонической в G функцией (см. Дирихле принцип). Если граница дG области G гладкая, то для того чтобы класс допустимых функций был не пуст, необходимо и достаточно, чтобы Решение и ₀ Д. в. з. может быть найдено прямым вариационным методом. Эти результаты обобщаются как на случай квадратичных эллиптич. функционалов, содержащих производные высших порядков, так и на случай неограниченных областей.

Лит.:[1] Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 2, 2 изд., М.- Л., 1951; [2] Соболеве. Л., Некоторые применения функционального анализа к математической физике, Новосиб., 1962; [3] Никольский С. М., "Матем. сб.", 1954, т. 35, № 2, с. 247-66; [4] Кудрявцев Л. Д., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1959, т. 55, с. 1 -181.

Л. Д. Кудрявцев.