ГРАНИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

области, простые концы области,- элементы области Вкомплексной плоскости, определяемые следующим образом. Пусть В - односвязная область расширенной комплексной плоскости, - граница области В. Сечением с области Вназ. всякая простая замкнутая в сферической метрике жорданова дуга с концами (случаи , или не исключаются) такая, что принадлежат ; неконцевые точки спринадлежат В;дуга сразбивает В на две подобласти, такие, что на границе каждой из них найдется точка, принадлежащая и отличная от а и b. Последовательность K сечений области Вназ. цепью, если: диаметр стремится к 0 при ; для каждого n пересечение пусто; любой путь, соединяющий фиксированную точку в с сечением , пересекает сечение . Две цепи и и В эквивалентны, если каждое сечение разделяет в Вточку Оот всех сечений за исключением конечного числа их. Класс эквивалентности цепей в Вназ. граничным элементом, или простым концом, области В.

Пусть Р - Г. э. области В, определяемый цепью , и пусть - такая из двух подобластей, на к-рые разбивает область В, что она не содержит точку О. Множество наз. телом (или носителем) Г. э. Тело Г. э. состоит из точек границы и не зависит от выбора цепи Кв классе эквивалентности. Главной точкой Г. э. наз. точка Г. э., к к-рой стягиваются (сходятся) сечения по крайней мере одной из цепей, определяющих рассматриваемый Г. э. Смежной (пли дополнительной) точкой Г. э. наз. всякая его точка, не являющаяся главной. Всякий Г. э. содержит по крайней мере одну главную точку. Главные точки Г. э. образуют замкнутое множество. Г. э. следующим образом классифицируются по К. Каратеодори [1]: Г. э. 1-го рода содержит единственную главную точку и не содержит смежных точек; Г. э. 2-го рода - единственную главную точку и бесконечное множество смежных точек; Г. э. 3-го рода - континуум главных точек и не содержит смежных точек; Г. э. 4-го рода - континуум главных точек и бесконечное множество смежных точек.

Другое равносильное определение Г. э. дал П. Кёбе [2]. Оно основано на классах эквивалентности путей. Основной в теории Г. э. является теорема Каратеодори: при однолистном конформном отображении ооласти ана единичный круг между точками окружности и Г. э. области Всуществует взаимно однозначное соответствие. При этом каждая последовательность точек области В, сходящаяся к Г. э. Р, преобразуется в последовательность точек единичного круга, сходящуюся к точке , являющейся образом Г. э. Р.

Лит.:[1] Саrathёоdоrу С., "Math. Ann.", 1913, Bd 73, S. 323-70; [2] Коеbе Р., "J. reine und angew. Math.", 1915, Bd 145,8. 177-223; [3] Суворов Г. Д., Семейства плоских топологических отображений, Новосиб., 1965; [4] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [5] Коллингвуд Э.,Ловатер А., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971, гл. 9.

Е. Г. Голузина.