- ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
решение гипергеометрического уравнения
Г. ф. может быть определена с помощью так наз. р я-да Гаусса:
где
- параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме 
- комплексное переменное,
. Функция 
наз. гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение пшергеометрич. уравнения (1)
наз. гипергеометр к ческой функцией 2-го рода.
Ряд (2) сходится абсолютно и равномерно при
; сходимость распространяется и на единичную окружность, если 
при 
сходится во всех точках единичной окружности, кроме 
. Однако существует аналптич. продолжение Г. ф. (2) во внешность единичной окружности 
с разрезом 
(см. [1]). Функция 
- однозначная аналитическая в комплексной плоскости 
с разрезом 
. Если 
или 
- нуль или целое отрицательное число, то ряд (2) обрывается на конечном числе членов и Г. ф. представляет собой полином относительно z.
При
Г. ф. не определена, однако
Элементарные соотношения. Шесть функций
наз. смежными с Г. ф.
. Между функцией 
и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,
15 формул такого типа впервые были найдены К. Гауссом (С. Gauss, см. [2], [31). Ассоциированные функции
, где т, п, l- целые числа, могут быть получены повторными применениями соотношений Гаусса. Имеют место формулы дифференцирования
Уравнение (1) имеет 24 решения вида
где
- линейные функции 
и 
связаны дробно-линейным преобразованием. Любые три решения линейно зависимы (см. [2]). Существуют квадратичные, кубичные и более высокого порядка преобразования (см. [2] - [5]).
Основные интегральные представления. Если
и 
то имеет место формула Эйлера:
Разлагая
в биномиальный ряд и применяя контурные интегралы для бета-функции, можно получить другие интегральные представления (см. [2]). Интеграл (3) и другие аналогичные формулы, определяющие аналитич. функцию от z, однозначную во всей плоскости z, также могут служить для аналитич. родолжения функции 
в область 
Существуют и другие аналнтич. продолжения (см. [1], [2]).
Асимптотическое поведение Г. ф. при больших значениях |z| полностью описывается с помощью формул, дающих аналитич. родолжение в окрестность точки
(см. [1] - [3]). Если 
- фиксированные числа и 
достаточно велико,
то при 
При
имеется аналогичное выражение. Для 
фиксированных 
и 
См. также [2], [5], [6]. Представления функций через Г. ф. Элементарные функции:
полные эллиптич. интегралы 1-го и 2-го рода:
присоединенные функции Лежандра:
многочлены Чебышева:
многочлены Лежандра:
ультрасферические многочлены:
многочлены Якоби:
Обобщения Г. ф. Обобщенной Г. ф.
наз. решение гипергеометрич. уравнения
-го порядка (см. [2]). Имеются и другие обобщения Г. ф., напр., на случай многих переменных (см. [2]).
Лит.: [1] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963; [2] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 1], пер. с англ.,2 изд.,М., 1973; [3] Градштейн И. С Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 5 изд., М 1971; [4] Кummеr Е. Е., "J. reine und angew. Math.", 1835, Bd 15, S. 39-83, 127-72; [5] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [6] Уиттекер Э. Т., Ватcон Дж. Н., Курс современного анализа, ч. 2, Трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [7] Лебедев А. В., Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1956; [81 Бурунова Н. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1959. доп. l; [9] An index of mathematical tables, 2 ed., v. 1, 2, Oxford, 1962. Э. А. Чистова.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
